Номер 292, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

292. Выяснить, при каком значении $a$ многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x):$

1) $P(x) = 6x^2 + 7x + a$, $Q(x) = 2x + 3;$

2) $P(x) = x^6 + x^5 - 4x^4 - 4x^3 + ax^2 + 4x + a$, $Q(x) = x + 1;$

3) $P(x) = x^3 + ax^2 + ax - 15$, $Q(x) = x - 3;$

4) $P(x) = -4x^2 + ax + 5$, $Q(x) = 4x + 5.$

1) $P(x) = 6x^2 + 7x + a, Q(x) = 2x + 3;$

Для того чтобы многочлен $P(x)$ делился на многочлен $Q(x)$ без остатка, необходимо и достаточно, чтобы корень многочлена $Q(x)$ был также корнем многочлена $P(x)$. Это следует из теоремы Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P(c)$. Для делимости без остатка, остаток должен быть равен нулю, то есть $P(c) = 0$.

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = 2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3/2$

Теперь подставим найденное значение $x = -3/2$ в многочлен $P(x)$ и приравняем его к нулю:
$P(-3/2) = 6(-3/2)^2 + 7(-3/2) + a = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$6(9/4) + 7(-3/2) + a = 0$
$54/4 - 21/2 + a = 0$
$27/2 - 21/2 + a = 0$
$6/2 + a = 0$
$3 + a = 0$
$a = -3$

Ответ: $a = -3$.

2) $P(x) = x^6 + x^5 - 4x^4 - 4x^3 + ax^2 + 4x + a, Q(x) = x + 1;$

Аналогично первому пункту, используем теорему Безу. Найдем корень многочлена $Q(x)$.
$Q(x) = x + 1 = 0$
$x = -1$

Подставим $x = -1$ в многочлен $P(x)$ и приравняем к нулю:
$P(-1) = (-1)^6 + (-1)^5 - 4(-1)^4 - 4(-1)^3 + a(-1)^2 + 4(-1) + a = 0$

Упростим и решим уравнение относительно $a$:
$1 + (-1) - 4(1) - 4(-1) + a(1) - 4 + a = 0$
$1 - 1 - 4 + 4 + a - 4 + a = 0$
$2a - 4 = 0$
$2a = 4$
$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

3) $P(x) = x^3 + ax^2 + ax - 15, Q(x) = x - 3;$

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = x - 3 = 0$
$x = 3$

Подставим $x = 3$ в многочлен $P(x)$ и приравняем его к нулю, чтобы обеспечить делимость без остатка:
$P(3) = (3)^3 + a(3)^2 + a(3) - 15 = 0$

Решим полученное уравнение:
$27 + 9a + 3a - 15 = 0$
$12a + 12 = 0$
$12a = -12$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

4) $P(x) = -4x^2 + ax + 5, Q(x) = 4x + 5.$

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = 4x + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -5/4$

Подставим $x = -5/4$ в многочлен $P(x)$ и приравняем к нулю:
$P(-5/4) = -4(-5/4)^2 + a(-5/4) + 5 = 0$

Решим уравнение относительно $a$:
$-4(25/16) - (5/4)a + 5 = 0$
$-25/4 - 5a/4 + 20/4 = 0$
Чтобы избавиться от знаменателя, домножим все уравнение на 4:
$-25 - 5a + 20 = 0$
$-5 - 5a = 0$
$-5a = 5$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.