Номер 290, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

290. Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$, $Q(x) = x^3 + 2x^2$;

2) $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$, $Q(x) = 3x + 2$;

3) $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$, $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$;

4) $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$, $Q(x) = 3x^3 - x$.

Деление многочленов выполняется по алгоритму "уголком", аналогично делению чисел. Основная цель — последовательно исключать старшие степени делимого $P(x)$, умножая делитель $Q(x)$ на подходящие одночлены.

1) $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$, $Q(x) = x^3 + 2x^2$

1. Разделим старший член $2x^5$ на $x^3$, получим $2x^2$.
2. Умножим $Q(x)$ на $2x^2$: $2x^2(x^3 + 2x^2) = 2x^5 + 4x^4$.
3. Вычтем из $P(x)$: $(2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13) - (2x^5 + 4x^4) = -5x^3 - 9x^2 + 13$.
4. Разделим $-5x^3$ на $x^3$, получим $-5$.
5. Умножим $Q(x)$ на $-5$: $-5(x^3 + 2x^2) = -5x^3 - 10x^2$.
6. Вычтем: $(-5x^3 - 9x^2 + 13) - (-5x^3 - 10x^2) = x^2 + 13$.

Ответ: Частное $2x^2 - 5$, остаток $x^2 + 13$.

2) $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$, $Q(x) = 3x + 2$

1. Заметим, что первые два члена $P(x)$ можно сгруппировать: $x^4(3x + 2)$.
2. Тогда $P(x) = x^4(3x + 2) + 1(3x + 2) + 5$.
3. Вынося $(3x + 2)$ за скобки, получаем: $(3x + 2)(x^4 + 1) + 5$.

Ответ: Частное $x^4 + 1$, остаток $5$.

3) $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$, $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$

1. Разделим $6x^4$ на $2x^4$, получим $3$.
2. Умножим $Q(x)$ на $3$: $3(2x^4 - 3x^2) = 6x^4 - 9x^2$.
3. Вычтем из $P(x)$: $(6x^4 + x^3 + x) - (6x^4 - 9x^2) = x^3 + 9x^2 + x$.
4. Степень остатка ($3$) меньше степени делителя ($4$), деление окончено.

Ответ: Частное $3$, остаток $x^3 + 9x^2 + x$.

4) $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$, $Q(x) = 3x^3 - x$

1. Разделим $15x^6$ на $3x^3$, получим $5x^3$.
2. Умножим $Q(x)$ на $5x^3$: $5x^3(3x^3 - x) = 15x^6 - 5x^4$.
3. Вычтем из $P(x)$: $(15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1) - (15x^6 - 5x^4) = 6x^3 - 1$.
4. Разделим $6x^3$ на $3x^3$, получим $2$.
5. Умножим $Q(x)$ на $2$: $2(3x^3 - x) = 6x^3 - 2x$.
6. Вычтем: $(6x^3 - 1) - (6x^3 - 2x) = 2x - 1$.

Ответ: Частное $5x^3 + 2$, остаток $2x - 1$.