Номер 290, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

290. Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$, $Q(x) = x^3 + 2x^2$;

2) $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$, $Q(x) = 3x + 2$;

3) $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$, $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$;

4) $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$, $Q(x) = 3x^3 - x$.

1)

Даны многочлены $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$ и $Q(x) = x^3 + 2x^2$.

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена $P(x)$ на $Q(x)$, выполним деление столбиком. Для удобства запишем $P(x)$, добавив член с нулевым коэффициентом: $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 0x + 13$.

 2x² - 5 ___________________x³+2x²| 2x⁵ + 4x⁴ - 5x³ - 9x² + 0x + 13 -(2x⁵ + 4x⁴) ___________________ 0 - 5x³ - 9x² -(-5x³ - 10x²) _______________ x² + 0x + 13 

Пошаговое выполнение:

1. Делим старший член делимого ($2x^5$) на старший член делителя ($x^3$), получаем первый член частного: $2x^5 / x^3 = 2x^2$.
2. Умножаем делитель $Q(x)$ на $2x^2$: $2x^2 \cdot (x^3 + 2x^2) = 2x^5 + 4x^4$.
3. Вычитаем полученный многочлен из делимого: $(2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13) - (2x^5 + 4x^4) = -5x^3 - 9x^2 + 13$.
4. Делим старший член нового делимого ($-5x^3$) на старший член делителя ($x^3$), получаем следующий член частного: $-5x^3 / x^3 = -5$.
5. Умножаем делитель $Q(x)$ на $-5$: $-5 \cdot (x^3 + 2x^2) = -5x^3 - 10x^2$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(-5x^3 - 9x^2 + 13) - (-5x^3 - 10x^2) = x^2 + 13$.

Степень полученного многочлена $x^2 + 13$ (равна 2) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 3), поэтому деление завершено. Частное (неполное частное) равно $2x^2 - 5$. Остаток равен $x^2 + 13$.

Ответ: частное $2x^2 - 5$, остаток $x^2 + 13$.

2)

Даны многочлены $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$ и $Q(x) = 3x + 2$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$ столбиком. Запишем $P(x)$ с нулевыми коэффициентами для недостающих степеней: $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 3x + 7$.

 x⁴ + 1 _________________________3x+2 | 3x⁵ + 2x⁴ + 0x³ + 0x² + 3x + 7 -(3x⁵ + 2x⁴) _________________________ 0 + 0x³ + 0x² + 3x + 7 -(3x + 2) _________ 5 

Пошаговое выполнение:

1. Делим $3x^5$ на $3x$, получаем $x^4$.
2. Умножаем $Q(x)$ на $x^4$: $x^4 \cdot (3x + 2) = 3x^5 + 2x^4$.
3. Вычитаем из $P(x)$: $(3x^5 + 2x^4 + 3x + 7) - (3x^5 + 2x^4) = 3x + 7$.
4. Делим старший член нового делимого ($3x$) на старший член делителя ($3x$), получаем $1$.
5. Умножаем $Q(x)$ на $1$: $1 \cdot (3x+2) = 3x+2$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(3x+7) - (3x+2) = 5$.

Степень остатка $5$ (равна 0) меньше степени делителя $3x+2$ (равна 1), поэтому деление завершено. Частное равно $x^4 + 1$. Остаток равен $5$.

Ответ: частное $x^4 + 1$, остаток $5$.

3)

Даны многочлены $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$ и $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$ столбиком. Дополним многочлены недостающими членами: $P(x) = 6x^4 + x^3 + 0x^2 + x + 0$.

 3 ________________2x⁴-3x² | 6x⁴ + x³ + 0x² + x + 0 -(6x⁴ - 9x²) ___________________ x³ + 9x² + x 

Пошаговое выполнение:

1. Делим старший член делимого $6x^4$ на старший член делителя $2x^4$, получаем $3$.
2. Умножаем делитель $Q(x)$ на $3$: $3 \cdot (2x^4 - 3x^2) = 6x^4 - 9x^2$.
3. Вычитаем полученное выражение из $P(x)$: $(6x^4 + x^3 + x) - (6x^4 - 9x^2) = x^3 + 9x^2 + x$.

Степень полученного многочлена $x^3 + 9x^2 + x$ (равна 3) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 4), следовательно, это остаток, и деление завершено. Частное равно $3$. Остаток равен $x^3 + 9x^2 + x$.

Ответ: частное $3$, остаток $x^3 + 9x^2 + x$.

4)

Даны многочлены $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$ и $Q(x) = 3x^3 - x$.

Выполним деление столбиком. Запишем многочлены, добавив недостающие степени с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 15x^6 + 0x^5 - 5x^4 + 6x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.

 5x³ + 2 ___________________3x³-x | 15x⁶ + 0x⁵ - 5x⁴ + 6x³ + 0x² + 0x - 1 -(15x⁶ - 5x⁴) ___________________ 0 + 6x³ + 0x² + 0x -(6x³ - 2x) _________________ 2x - 1 

Пошаговое выполнение:

1. Делим $15x^6$ на $3x^3$, получаем $5x^3$.
2. Умножаем $Q(x)$ на $5x^3$: $5x^3 \cdot (3x^3 - x) = 15x^6 - 5x^4$.
3. Вычитаем из $P(x)$: $(15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1) - (15x^6 - 5x^4) = 6x^3 - 1$.
4. Делим старший член нового делимого ($6x^3$) на $3x^3$, получаем $2$.
5. Умножаем $Q(x)$ на $2$: $2 \cdot (3x^3 - x) = 6x^3 - 2x$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(6x^3 - 1) - (6x^3 - 2x) = 2x - 1$.

Степень многочлена $2x - 1$ (равна 1) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 3), поэтому деление завершено. Частное равно $5x^3 + 2$. Остаток равен $2x - 1$.

Ответ: частное $5x^3 + 2$, остаток $2x - 1$.