Страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

288. 1) $(15x^3 - x^2 + 8x - 4) : (3x^2 + x + 2);$

2) $(9x^4 - 9x^3 - x^2 + 3x - 2) : (3x^2 - 2x + 1).$

1) Для решения этого примера необходимо выполнить деление многочлена $(15x^3 - x^2 + 8x - 4)$ на многочлен $(3x^2 + x + 2)$. Это можно сделать методом деления в столбик (или "уголком").

Шаг 1: Разделим старший член делимого ($15x^3$) на старший член делителя ($3x^2$).
$15x^3 : 3x^2 = 5x$.
Это первый член частного. Умножим делитель $(3x^2 + x + 2)$ на $5x$:
$5x \cdot (3x^2 + x + 2) = 15x^3 + 5x^2 + 10x$.

Шаг 2: Вычтем полученное выражение из делимого:
$(15x^3 - x^2 + 8x - 4) - (15x^3 + 5x^2 + 10x) = 15x^3 - x^2 + 8x - 4 - 15x^3 - 5x^2 - 10x = -6x^2 - 2x - 4$.

Шаг 3: Теперь разделим старший член нового остатка ($-6x^2$) на старший член делителя ($3x^2$).
$-6x^2 : 3x^2 = -2$.
Это второй член частного. Умножим делитель $(3x^2 + x + 2)$ на $-2$:
$-2 \cdot (3x^2 + x + 2) = -6x^2 - 2x - 4$.

Шаг 4: Вычтем полученное выражение из остатка, полученного на шаге 2:
$(-6x^2 - 2x - 4) - (-6x^2 - 2x - 4) = 0$.

Остаток от деления равен 0. Таким образом, частное равно $5x - 2$.

Ответ: $5x - 2$

2) Для решения этого примера выполним деление многочлена $(9x^4 - 9x^3 - x^2 + 3x - 2)$ на многочлен $(3x^2 - 2x + 1)$ методом деления в столбик.

Шаг 1: Разделим старший член делимого ($9x^4$) на старший член делителя ($3x^2$).
$9x^4 : 3x^2 = 3x^2$.
Это первый член частного. Умножим делитель $(3x^2 - 2x + 1)$ на $3x^2$:
$3x^2 \cdot (3x^2 - 2x + 1) = 9x^4 - 6x^3 + 3x^2$.

Шаг 2: Вычтем полученное выражение из делимого:
$(9x^4 - 9x^3 - x^2 + 3x - 2) - (9x^4 - 6x^3 + 3x^2) = -3x^3 - 4x^2 + 3x - 2$.

Шаг 3: Разделим старший член нового остатка ($-3x^3$) на старший член делителя ($3x^2$).
$-3x^3 : 3x^2 = -x$.
Это второй член частного. Умножим делитель $(3x^2 - 2x + 1)$ на $-x$:
$-x \cdot (3x^2 - 2x + 1) = -3x^3 + 2x^2 - x$.

Шаг 4: Вычтем полученное выражение из остатка, полученного на шаге 2:
$(-3x^3 - 4x^2 + 3x - 2) - (-3x^3 + 2x^2 - x) = -6x^2 + 4x - 2$.

Шаг 5: Разделим старший член нового остатка ($-6x^2$) на старший член делителя ($3x^2$).
$-6x^2 : 3x^2 = -2$.
Это третий член частного. Умножим делитель $(3x^2 - 2x + 1)$ на $-2$:
$-2 \cdot (3x^2 - 2x + 1) = -6x^2 + 4x - 2$.

Шаг 6: Вычтем полученное выражение из остатка, полученного на шаге 4:
$(-6x^2 + 4x - 2) - (-6x^2 + 4x - 2) = 0$.

Остаток от деления равен 0. Таким образом, частное равно $3x^2 - x - 2$.

Ответ: $3x^2 - x - 2$

289. Записать формулу деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$:

1) $P(x) = x^2 - 5x + 6$, $Q(x) = x + 4$;

2) $P(x) = 4x^2 - x - 38$, $Q(x) = x + 3$;

3) $P(x) = x^3 - x^2 + 4$, $Q(x) = x + 2$;

4) $P(x) = 2x^3 + 8x^2 - 7$, $Q(x) = 2x^2 - 1$.

Формула деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$ с остатком имеет вид: $P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$, где $S(x)$ — частное (неполное частное), а $R(x)$ — остаток. Степень многочлена-остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $Q(x)$. Для нахождения частного и остатка используется метод деления многочленов "столбиком" (или "уголком").

1) $P(x) = x^2 - 5x + 6$, $Q(x) = x + 4$;

Выполним деление многочлена $P(x) = x^2 - 5x + 6$ на многочлен $Q(x) = x + 4$.

1. Делим старший член делимого ($x^2$) на старший член делителя ($x$): $x^2 / x = x$. Это первый член частного $S(x)$.

2. Умножаем делитель $(x + 4)$ на полученный член частного ($x$): $x \cdot (x + 4) = x^2 + 4x$.

3. Вычитаем полученное произведение из делимого: $(x^2 - 5x + 6) - (x^2 + 4x) = x^2 - 5x + 6 - x^2 - 4x = -9x + 6$.

4. Делим старший член нового делимого ($-9x$) на старший член делителя ($x$): $-9x / x = -9$. Это второй член частного $S(x)$.

5. Умножаем делитель $(x + 4)$ на полученный член частного ($-9$): $-9 \cdot (x + 4) = -9x - 36$.

6. Вычитаем полученное произведение из нового делимого: $(-9x + 6) - (-9x - 36) = -9x + 6 + 9x + 36 = 42$.

Степень остатка (равна 0) меньше степени делителя (равна 1), поэтому деление окончено. Частное $S(x) = x - 9$, остаток $R(x) = 42$.

Записываем формулу деления: $P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$.

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = (x + 4)(x - 9) + 42$.

2) $P(x) = 4x^2 - x - 38$, $Q(x) = x + 3$;

Выполним деление многочлена $P(x) = 4x^2 - x - 38$ на многочлен $Q(x) = x + 3$.

1. Делим старший член делимого ($4x^2$) на старший член делителя ($x$): $4x^2 / x = 4x$. Это первый член частного.

2. Умножаем делитель $(x + 3)$ на $4x$: $4x \cdot (x + 3) = 4x^2 + 12x$.

3. Вычитаем из делимого: $(4x^2 - x - 38) - (4x^2 + 12x) = 4x^2 - x - 38 - 4x^2 - 12x = -13x - 38$.

4. Делим старший член нового делимого ($-13x$) на старший член делителя ($x$): $-13x / x = -13$. Это второй член частного.

5. Умножаем делитель $(x + 3)$ на $-13$: $-13 \cdot (x + 3) = -13x - 39$.

6. Вычитаем из нового делимого: $(-13x - 38) - (-13x - 39) = -13x - 38 + 13x + 39 = 1$.

Степень остатка (0) меньше степени делителя (1), деление окончено. Частное $S(x) = 4x - 13$, остаток $R(x) = 1$.

Ответ: $4x^2 - x - 38 = (x + 3)(4x - 13) + 1$.

3) $P(x) = x^3 - x^2 + 4$, $Q(x) = x + 2$;

Выполним деление многочлена $P(x) = x^3 - x^2 + 0x + 4$ на многочлен $Q(x) = x + 2$.

1. Делим $x^3$ на $x$: $x^3 / x = x^2$.

2. Умножаем $x^2$ на $(x + 2)$: $x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2$.

3. Вычитаем: $(x^3 - x^2 + 4) - (x^3 + 2x^2) = -3x^2 + 4$.

4. Делим $-3x^2$ на $x$: $-3x^2 / x = -3x$.

5. Умножаем $-3x$ на $(x + 2)$: $-3x(x + 2) = -3x^2 - 6x$.

6. Вычитаем: $(-3x^2 + 4) - (-3x^2 - 6x) = -3x^2 + 4 + 3x^2 + 6x = 6x + 4$.

7. Делим $6x$ на $x$: $6x / x = 6$.

8. Умножаем $6$ на $(x + 2)$: $6(x + 2) = 6x + 12$.

9. Вычитаем: $(6x + 4) - (6x + 12) = 6x + 4 - 6x - 12 = -8$.

Степень остатка (0) меньше степени делителя (1), деление окончено. Частное $S(x) = x^2 - 3x + 6$, остаток $R(x) = -8$.

Ответ: $x^3 - x^2 + 4 = (x + 2)(x^2 - 3x + 6) - 8$.

4) $P(x) = 2x^3 + 8x^2 - 7$, $Q(x) = 2x^2 - 1$.

Выполним деление многочлена $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 0x - 7$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + 0x - 1$.

1. Делим $2x^3$ на $2x^2$: $2x^3 / 2x^2 = x$.

2. Умножаем $x$ на $(2x^2 - 1)$: $x(2x^2 - 1) = 2x^3 - x$.

3. Вычитаем: $(2x^3 + 8x^2 - 7) - (2x^3 - x) = 2x^3 + 8x^2 - 7 - 2x^3 + x = 8x^2 + x - 7$.

4. Делим $8x^2$ на $2x^2$: $8x^2 / 2x^2 = 4$.

5. Умножаем $4$ на $(2x^2 - 1)$: $4(2x^2 - 1) = 8x^2 - 4$.

6. Вычитаем: $(8x^2 + x - 7) - (8x^2 - 4) = 8x^2 + x - 7 - 8x^2 + 4 = x - 3$.

Степень остатка $x-3$ (равна 1) меньше степени делителя $2x^2 - 1$ (равна 2), деление окончено. Частное $S(x) = x + 4$, остаток $R(x) = x - 3$.

Ответ: $2x^3 + 8x^2 - 7 = (2x^2 - 1)(x + 4) + x - 3$.

290. Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$, $Q(x) = x^3 + 2x^2$;

2) $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$, $Q(x) = 3x + 2$;

3) $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$, $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$;

4) $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$, $Q(x) = 3x^3 - x$.

1)

Даны многочлены $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13$ и $Q(x) = x^3 + 2x^2$.

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена $P(x)$ на $Q(x)$, выполним деление столбиком. Для удобства запишем $P(x)$, добавив член с нулевым коэффициентом: $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 0x + 13$.

 2x² - 5 ___________________x³+2x²| 2x⁵ + 4x⁴ - 5x³ - 9x² + 0x + 13 -(2x⁵ + 4x⁴) ___________________ 0 - 5x³ - 9x² -(-5x³ - 10x²) _______________ x² + 0x + 13 

Пошаговое выполнение:

1. Делим старший член делимого ($2x^5$) на старший член делителя ($x^3$), получаем первый член частного: $2x^5 / x^3 = 2x^2$.
2. Умножаем делитель $Q(x)$ на $2x^2$: $2x^2 \cdot (x^3 + 2x^2) = 2x^5 + 4x^4$.
3. Вычитаем полученный многочлен из делимого: $(2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 13) - (2x^5 + 4x^4) = -5x^3 - 9x^2 + 13$.
4. Делим старший член нового делимого ($-5x^3$) на старший член делителя ($x^3$), получаем следующий член частного: $-5x^3 / x^3 = -5$.
5. Умножаем делитель $Q(x)$ на $-5$: $-5 \cdot (x^3 + 2x^2) = -5x^3 - 10x^2$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(-5x^3 - 9x^2 + 13) - (-5x^3 - 10x^2) = x^2 + 13$.

Степень полученного многочлена $x^2 + 13$ (равна 2) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 3), поэтому деление завершено. Частное (неполное частное) равно $2x^2 - 5$. Остаток равен $x^2 + 13$.

Ответ: частное $2x^2 - 5$, остаток $x^2 + 13$.

2)

Даны многочлены $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 3x + 7$ и $Q(x) = 3x + 2$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$ столбиком. Запишем $P(x)$ с нулевыми коэффициентами для недостающих степеней: $P(x) = 3x^5 + 2x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 3x + 7$.

 x⁴ + 1 _________________________3x+2 | 3x⁵ + 2x⁴ + 0x³ + 0x² + 3x + 7 -(3x⁵ + 2x⁴) _________________________ 0 + 0x³ + 0x² + 3x + 7 -(3x + 2) _________ 5 

Пошаговое выполнение:

1. Делим $3x^5$ на $3x$, получаем $x^4$.
2. Умножаем $Q(x)$ на $x^4$: $x^4 \cdot (3x + 2) = 3x^5 + 2x^4$.
3. Вычитаем из $P(x)$: $(3x^5 + 2x^4 + 3x + 7) - (3x^5 + 2x^4) = 3x + 7$.
4. Делим старший член нового делимого ($3x$) на старший член делителя ($3x$), получаем $1$.
5. Умножаем $Q(x)$ на $1$: $1 \cdot (3x+2) = 3x+2$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(3x+7) - (3x+2) = 5$.

Степень остатка $5$ (равна 0) меньше степени делителя $3x+2$ (равна 1), поэтому деление завершено. Частное равно $x^4 + 1$. Остаток равен $5$.

Ответ: частное $x^4 + 1$, остаток $5$.

3)

Даны многочлены $P(x) = 6x^4 + x^3 + x$ и $Q(x) = 2x^4 - 3x^2$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $Q(x)$ столбиком. Дополним многочлены недостающими членами: $P(x) = 6x^4 + x^3 + 0x^2 + x + 0$.

 3 ________________2x⁴-3x² | 6x⁴ + x³ + 0x² + x + 0 -(6x⁴ - 9x²) ___________________ x³ + 9x² + x 

Пошаговое выполнение:

1. Делим старший член делимого $6x^4$ на старший член делителя $2x^4$, получаем $3$.
2. Умножаем делитель $Q(x)$ на $3$: $3 \cdot (2x^4 - 3x^2) = 6x^4 - 9x^2$.
3. Вычитаем полученное выражение из $P(x)$: $(6x^4 + x^3 + x) - (6x^4 - 9x^2) = x^3 + 9x^2 + x$.

Степень полученного многочлена $x^3 + 9x^2 + x$ (равна 3) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 4), следовательно, это остаток, и деление завершено. Частное равно $3$. Остаток равен $x^3 + 9x^2 + x$.

Ответ: частное $3$, остаток $x^3 + 9x^2 + x$.

4)

Даны многочлены $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$ и $Q(x) = 3x^3 - x$.

Выполним деление столбиком. Запишем многочлены, добавив недостающие степени с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 15x^6 + 0x^5 - 5x^4 + 6x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.

 5x³ + 2 ___________________3x³-x | 15x⁶ + 0x⁵ - 5x⁴ + 6x³ + 0x² + 0x - 1 -(15x⁶ - 5x⁴) ___________________ 0 + 6x³ + 0x² + 0x -(6x³ - 2x) _________________ 2x - 1 

Пошаговое выполнение:

1. Делим $15x^6$ на $3x^3$, получаем $5x^3$.
2. Умножаем $Q(x)$ на $5x^3$: $5x^3 \cdot (3x^3 - x) = 15x^6 - 5x^4$.
3. Вычитаем из $P(x)$: $(15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1) - (15x^6 - 5x^4) = 6x^3 - 1$.
4. Делим старший член нового делимого ($6x^3$) на $3x^3$, получаем $2$.
5. Умножаем $Q(x)$ на $2$: $2 \cdot (3x^3 - x) = 6x^3 - 2x$.
6. Вычитаем из текущего остатка: $(6x^3 - 1) - (6x^3 - 2x) = 2x - 1$.

Степень многочлена $2x - 1$ (равна 1) меньше степени делителя $Q(x)$ (равна 3), поэтому деление завершено. Частное равно $5x^3 + 2$. Остаток равен $2x - 1$.

Ответ: частное $5x^3 + 2$, остаток $2x - 1$.

291. Найти числа $a$ и $b$ из тождественного равенства:

1) $2x^5 - 4x^2 + 5x - 3 = (x-1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3);$

2) $x^5 + x^3 - 2 = (x-1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b).$

1) Чтобы найти числа $a$ и $b$ из тождественного равенства $2x^5 - 4x^2 + 5x - 3 = (x - 1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$, необходимо раскрыть скобки в правой части выражения и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ в левой и правой частях.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(x - 1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3) = x(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3) - 1(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$

$= (2x^5 + ax^4 + bx^3 - 2x^2 + 3x) - (2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 2x^5 + (a - 2)x^4 + (b - a)x^3 + (-2 - b)x^2 + (3 - (-2))x - 3$

$= 2x^5 + (a - 2)x^4 + (b - a)x^3 + (-2 - b)x^2 + 5x - 3$

Теперь сравним коэффициенты полученного многочлена с многочленом в левой части исходного равенства: $2x^5 + 0x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 5x - 3$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

• При $x^4$: $a - 2 = 0$
• При $x^3$: $b - a = 0$
• При $x^2$: $-2 - b = -4$

Из первого уравнения находим $a$: $a = 2$.

Подставляем значение $a$ во второе уравнение: $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$.

Проверим найденные значения, подставив $b$ в третье уравнение: $-2 - 2 = -4$, что является верным равенством ($-4 = -4$). Коэффициенты при $x^5$, $x^1$ и свободные члены в обеих частях тождества также совпадают.

Таким образом, искомые значения найдены.

Ответ: $a = 2, b = 2$.

2) Аналогично решим второе тождественное равенство $x^5 + x^3 - 2 = (x - 1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$. Раскроем скобки в правой части.

$(x - 1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b) = x(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b) - 1(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$

$= (x^5 - ax^4 + 2x^3 + 2x^2 + bx) - (x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= x^5 + (-a - 1)x^4 + (2 - (-a))x^3 + (2 - 2)x^2 + (b - 2)x - b$

$= x^5 + (-a - 1)x^4 + (a + 2)x^3 + 0x^2 + (b - 2)x - b$

Теперь сравним коэффициенты полученного многочлена с многочленом в левой части исходного равенства: $x^5 + 0x^4 + 1x^3 + 0x^2 + 0x - 2$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

• При $x^4$: $-a - 1 = 0$
• При $x^3$: $a + 2 = 1$
• При $x$: $b - 2 = 0$
• Свободный член: $-b = -2$

Из первого уравнения находим $a$: $-a = 1 \Rightarrow a = -1$.

Проверим это значение во втором уравнении: $(-1) + 2 = 1$, что является верным равенством ($1 = 1$).

Из третьего уравнения находим $b$: $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$.

Проверим это значение в четвертом уравнении: $-2 = -2$, что также верно.

Таким образом, искомые значения найдены.

Ответ: $a = -1, b = 2$.

292. Выяснить, при каком значении $a$ многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x):$

1) $P(x) = 6x^2 + 7x + a$, $Q(x) = 2x + 3;$

2) $P(x) = x^6 + x^5 - 4x^4 - 4x^3 + ax^2 + 4x + a$, $Q(x) = x + 1;$

3) $P(x) = x^3 + ax^2 + ax - 15$, $Q(x) = x - 3;$

4) $P(x) = -4x^2 + ax + 5$, $Q(x) = 4x + 5.$

1) $P(x) = 6x^2 + 7x + a, Q(x) = 2x + 3;$

Для того чтобы многочлен $P(x)$ делился на многочлен $Q(x)$ без остатка, необходимо и достаточно, чтобы корень многочлена $Q(x)$ был также корнем многочлена $P(x)$. Это следует из теоремы Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P(c)$. Для делимости без остатка, остаток должен быть равен нулю, то есть $P(c) = 0$.

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = 2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -3/2$

Теперь подставим найденное значение $x = -3/2$ в многочлен $P(x)$ и приравняем его к нулю:
$P(-3/2) = 6(-3/2)^2 + 7(-3/2) + a = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$6(9/4) + 7(-3/2) + a = 0$
$54/4 - 21/2 + a = 0$
$27/2 - 21/2 + a = 0$
$6/2 + a = 0$
$3 + a = 0$
$a = -3$

Ответ: $a = -3$.

2) $P(x) = x^6 + x^5 - 4x^4 - 4x^3 + ax^2 + 4x + a, Q(x) = x + 1;$

Аналогично первому пункту, используем теорему Безу. Найдем корень многочлена $Q(x)$.
$Q(x) = x + 1 = 0$
$x = -1$

Подставим $x = -1$ в многочлен $P(x)$ и приравняем к нулю:
$P(-1) = (-1)^6 + (-1)^5 - 4(-1)^4 - 4(-1)^3 + a(-1)^2 + 4(-1) + a = 0$

Упростим и решим уравнение относительно $a$:
$1 + (-1) - 4(1) - 4(-1) + a(1) - 4 + a = 0$
$1 - 1 - 4 + 4 + a - 4 + a = 0$
$2a - 4 = 0$
$2a = 4$
$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

3) $P(x) = x^3 + ax^2 + ax - 15, Q(x) = x - 3;$

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = x - 3 = 0$
$x = 3$

Подставим $x = 3$ в многочлен $P(x)$ и приравняем его к нулю, чтобы обеспечить делимость без остатка:
$P(3) = (3)^3 + a(3)^2 + a(3) - 15 = 0$

Решим полученное уравнение:
$27 + 9a + 3a - 15 = 0$
$12a + 12 = 0$
$12a = -12$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

4) $P(x) = -4x^2 + ax + 5, Q(x) = 4x + 5.$

Найдем корень многочлена $Q(x)$:
$Q(x) = 4x + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -5/4$

Подставим $x = -5/4$ в многочлен $P(x)$ и приравняем к нулю:
$P(-5/4) = -4(-5/4)^2 + a(-5/4) + 5 = 0$

Решим уравнение относительно $a$:
$-4(25/16) - (5/4)a + 5 = 0$
$-25/4 - 5a/4 + 20/4 = 0$
Чтобы избавиться от знаменателя, домножим все уравнение на 4:
$-25 - 5a + 20 = 0$
$-5 - 5a = 0$
$-5a = 5$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

293. Не выполняя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

1) $P(x)=x^7+x^6-6x^5+x^2-5x$, $Q(x)=x^2+x-6$;

2) $P(x)=x^5-2x^4+x^3+x-2$, $Q(x)=x^2-4$.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$ воспользуемся теоремой о делении с остатком. Она гласит, что для любых многочленов $P(x)$ (делимое) и $Q(x)$ (делитель) существуют единственные многочлены $D(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $Q(x)$.

Если $x_0$ является корнем многочлена $Q(x)$, то $Q(x_0) = 0$. Подставив $x = x_0$ в уравнение выше, получим:

$P(x_0) = D(x_0) \cdot Q(x_0) + R(x_0) = D(x_0) \cdot 0 + R(x_0) = R(x_0)$

Таким образом, значение многочлена $P(x)$ в корне делителя $Q(x)$ равно значению остатка $R(x)$ в этом же корне.

1) $P(x) = x^7 + x^6 - 6x^5 + x^2 - 5x$, $Q(x) = x^2 + x - 6$

Делитель $Q(x) = x^2 + x - 6$ является многочленом второй степени, следовательно, остаток $R(x)$ будет многочленом не выше первой степени, то есть $R(x) = ax + b$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь составим систему уравнений, используя найденные корни:

Для $x_1 = 2$: $P(2) = R(2) = 2a + b$.

Вычислим $P(2)$:

$P(2) = 2^7 + 2^6 - 6 \cdot 2^5 + 2^2 - 5 \cdot 2 = 128 + 64 - 6 \cdot 32 + 4 - 10 = 192 - 192 + 4 - 10 = -6$.

Получаем первое уравнение: $2a + b = -6$.

Для $x_2 = -3$: $P(-3) = R(-3) = -3a + b$.

Вычислим $P(-3)$:

$P(-3) = (-3)^7 + (-3)^6 - 6 \cdot (-3)^5 + (-3)^2 - 5 \cdot (-3)$

$P(-3) = -2187 + 729 - 6 \cdot (-243) + 9 + 15 = -2187 + 729 + 1458 + 24 = -1458 + 1458 + 24 = 24$.

Получаем второе уравнение: $-3a + b = 24$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = -6 \\ -3a + b = 24 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - 24$

$5a = -30$

$a = -6$

Подставим значение $a = -6$ в первое уравнение:

$2(-6) + b = -6$

$-12 + b = -6$

$b = 6$

Таким образом, остаток $R(x) = ax + b = -6x + 6$.

Ответ: $R(x) = -6x + 6$.

2) $P(x) = x^5 - 2x^4 + x^3 + x - 2$, $Q(x) = x^2 - 4$

Делитель $Q(x) = x^2 - 4$ является многочленом второй степени, значит остаток $R(x)$ имеет вид $ax + b$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$.

$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Составим систему уравнений:

Для $x_1 = 2$: $P(2) = R(2) = 2a + b$.

Вычислим $P(2)$:

$P(2) = 2^5 - 2 \cdot 2^4 + 2^3 + 2 - 2 = 32 - 2 \cdot 16 + 8 = 32 - 32 + 8 = 8$.

Получаем первое уравнение: $2a + b = 8$.

Для $x_2 = -2$: $P(-2) = R(-2) = -2a + b$.

Вычислим $P(-2)$:

$P(-2) = (-2)^5 - 2 \cdot (-2)^4 + (-2)^3 + (-2) - 2 = -32 - 2 \cdot 16 - 8 - 2 - 2 = -32 - 32 - 8 - 4 = -76$.

Получаем второе уравнение: $-2a + b = -76$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = 8 \\ -2a + b = -76 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(2a + b) + (-2a + b) = 8 + (-76)$

$2b = -68$

$b = -34$

Подставим значение $b = -34$ в первое уравнение:

$2a + (-34) = 8$

$2a = 42$

$a = 21$

Таким образом, остаток $R(x) = ax + b = 21x - 34$.

Ответ: $R(x) = 21x - 34$.

294. Найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$:

1) $P(x) = x^5 + 4x^4 + x^2 + 3, Q(x) = x^2 + 6x + 8;$

2) $P(x) = x^8 - 4x^6 + 3x^3 - x, Q(x) = x^2 - 4.$

1)

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^5 + 4x^4 + x^2 + 3$ на многочлен $Q(x) = x^2 + 6x + 8$, мы можем использовать теорему об остатках.

Остаток от деления, обозначим его $R(x)$, должен иметь степень, меньшую степени делителя $Q(x)$. Так как степень $Q(x)$ равна 2, то остаток будет многочленом степени не выше 1, то есть $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ – некоторые константы.

Процесс деления многочленов можно записать в виде равенства: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $S(x)$ – это частное.

Найдем корни многочлена-делителя $Q(x)$:
$x^2 + 6x + 8 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $Q(-2) = 0$ и $Q(-4) = 0$.

Если подставить эти корни в основное равенство, то слагаемое $S(x) \cdot Q(x)$ обратится в ноль:

$P(-2) = S(-2) \cdot Q(-2) + R(-2) = S(-2) \cdot 0 + R(-2) = R(-2)$

$P(-4) = S(-4) \cdot Q(-4) + R(-4) = S(-4) \cdot 0 + R(-4) = R(-4)$

Теперь вычислим значения многочлена $P(x)$ в этих точках:

$P(-2) = (-2)^5 + 4(-2)^4 + (-2)^2 + 3 = -32 + 4(16) + 4 + 3 = -32 + 64 + 4 + 3 = 39$

$P(-4) = (-4)^5 + 4(-4)^4 + (-4)^2 + 3 = -1024 + 4(256) + 16 + 3 = -1024 + 1024 + 16 + 3 = 19$

Мы получили значения остатка $R(x) = ax+b$ в точках $-2$ и $-4$:

$R(-2) = a(-2) + b = -2a + b = 39$

$R(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 19$

Теперь решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} -2a + b = 39 \\ -4a + b = 19 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(-2a + b) - (-4a + b) = 39 - 19$
$2a = 20$
$a = 10$

Подставим найденное значение $a=10$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$-2(10) + b = 39$
$-20 + b = 39$
$b = 59$

Таким образом, коэффициенты найдены, и остаток от деления равен $R(x) = 10x + 59$.

Ответ: $10x + 59$

2)

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^8 - 4x^6 + 3x^3 - x$ на многочлен $Q(x) = x^2 - 4$ воспользуемся тем же методом.

Степень делителя $Q(x)$ равна 2, поэтому остаток $R(x)$ ищем в виде $R(x) = ax + b$.

Основное равенство: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставляя корни в основное равенство, получаем $P(2) = R(2)$ и $P(-2) = R(-2)$.

Вычислим значения многочлена $P(x)$ в этих точках:

$P(2) = 2^8 - 4(2^6) + 3(2^3) - 2 = 256 - 4(64) + 3(8) - 2 = 256 - 256 + 24 - 2 = 22$

$P(-2) = (-2)^8 - 4(-2)^6 + 3(-2)^3 - (-2) = 256 - 4(64) + 3(-8) + 2 = 256 - 256 - 24 + 2 = -22$

Мы получили значения остатка $R(x) = ax+b$ в точках $2$ и $-2$:

$R(2) = a(2) + b = 2a + b = 22$

$R(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -22$

Решим полученную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = 22 \\ -2a + b = -22 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(2a + b) + (-2a + b) = 22 + (-22)$
$2b = 0$
$b = 0$

Подставим $b=0$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:
$2a + 0 = 22$
$2a = 22$
$a = 11$

Таким образом, остаток от деления равен $R(x) = 11x + 0 = 11x$.

Ответ: $11x$

295. При каких натуральных значениях $n$ выражение $\frac{2n-1}{n+1}$ является натуральным числом?

Чтобы выражение $\frac{2n-1}{n+1}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы оно было целым и положительным.
Поскольку по условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, знаменатель $n+1 \ge 2$ и числитель $2n-1 \ge 2(1)-1=1$. Так как и числитель, и знаменатель положительны, то вся дробь будет положительной. Значит, нам достаточно найти, при каких натуральных $n$ это выражение является целым числом.

Для этого выделим целую часть дроби. Преобразуем числитель, чтобы он содержал выражение, стоящее в знаменателе:
$2n-1 = 2n + 2 - 3 = 2(n+1) - 3$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:
$\frac{2(n+1) - 3}{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+1} - \frac{3}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$.

Чтобы значение выражения $2 - \frac{3}{n+1}$ было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n+1}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $(n+1)$ является делителем числителя 3.

Найдем все целые делители числа 3: это $1, -1, 3, -3$.
Учтем, что $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$. Отсюда следует, что $n+1 \ge 1+1=2$.
Из всех делителей числа 3 ($1, -1, 3, -3$) нам нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $n+1 \ge 2$. Этому условию соответствует только одно число — 3.

Следовательно, мы имеем единственное уравнение:
$n+1 = 3$
$n = 2$

Проверим найденное значение. Если $n=2$, то исходное выражение равно:
$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2+1} = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Число 1 является натуральным, поэтому значение $n=2$ является решением задачи.

Ответ: 2.

296. При каких целых значениях $n$ выражение $\frac{3n^2-7n+17}{n+4}$ является натуральным числом?

Для того чтобы данное выражение было натуральным числом, оно должно быть целым и положительным. Пусть $n$ — целое число.

Чтобы выражение $\frac{3n^2 - 7n + 17}{n+4}$ было целым, числитель $3n^2 - 7n + 17$ должен делиться на знаменатель $n+4$ без остатка. Для проверки этого условия и упрощения выражения выделим целую часть дроби. Это можно сделать с помощью полиномиального деления (деления "уголком") или путем преобразования числителя:

$3n^2 - 7n + 17 = 3n^2 + 12n - 12n - 7n + 17$ (прибавим и вычтем $12n$)
$= 3n(n+4) - 19n + 17$ (вынесем $3n$ за скобки)
$= 3n(n+4) - 19n - 76 + 76 + 17$ (прибавим и вычтем 76, так как $19 \cdot 4 = 76$)
$= 3n(n+4) - 19(n+4) + 93$ (вынесем $-19$ за скобки)
$= (3n - 19)(n+4) + 93$

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$\frac{3n^2 - 7n + 17}{n+4} = \frac{(3n - 19)(n+4) + 93}{n+4} = 3n - 19 + \frac{93}{n+4}$

Поскольку $n$ — целое число, то и $3n - 19$ является целым числом. Для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{93}{n+4}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n+4$ является делителем числа 93.

Найдем все целые делители числа 93. Разложим 93 на простые множители: $93 = 3 \cdot 31$. Делителями числа 93 являются: $\pm 1, \pm 3, \pm 31, \pm 93$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи для $n+4$:

• $n+4 = 1 \implies n = 1 - 4 = -3$
• $n+4 = -1 \implies n = -1 - 4 = -5$
• $n+4 = 3 \implies n = 3 - 4 = -1$
• $n+4 = -3 \implies n = -3 - 4 = -7$
• $n+4 = 31 \implies n = 31 - 4 = 27$
• $n+4 = -31 \implies n = -31 - 4 = -35$
• $n+4 = 93 \implies n = 93 - 4 = 89$
• $n+4 = -93 \implies n = -93 - 4 = -97$

Мы нашли все целые значения $n$, при которых выражение является целым числом. Теперь из них нужно выбрать те, при которых значение выражения будет натуральным, то есть положительным.

Проверим каждое найденное значение $n$, подставляя его в выражение $3n - 19 + \frac{93}{n+4}$:

• При $n = -97$: $3(-97) - 19 + \frac{93}{-93} = -291 - 19 - 1 = -311$ (не натуральное)
• При $n = -35$: $3(-35) - 19 + \frac{93}{-31} = -105 - 19 - 3 = -127$ (не натуральное)
• При $n = -7$: $3(-7) - 19 + \frac{93}{-3} = -21 - 19 - 31 = -71$ (не натуральное)
• При $n = -5$: $3(-5) - 19 + \frac{93}{-1} = -15 - 19 - 93 = -127$ (не натуральное)
• При $n = -3$: $3(-3) - 19 + \frac{93}{1} = -9 - 19 + 93 = 65$ (натуральное)
• При $n = -1$: $3(-1) - 19 + \frac{93}{3} = -3 - 19 + 31 = 9$ (натуральное)
• При $n = 27$: $3(27) - 19 + \frac{93}{31} = 81 - 19 + 3 = 65$ (натуральное)
• При $n = 89$: $3(89) - 19 + \frac{93}{93} = 267 - 19 + 1 = 249$ (натуральное)

Таким образом, выражение является натуральным числом при четырех целых значениях $n$.

Ответ: -3, -1, 27, 89.

297. При каких целых значениях $n$ выражение $\frac{2n^2 - 13n - 45}{3n - 27}$ является целым числом?

Для того чтобы выражение $\frac{2n^2 - 13n - 45}{3n - 27}$ было целым числом, необходимо, чтобы $n$ было целым числом, а числитель делился на знаменатель нацело.

Сначала найдем область допустимых значений для $n$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$3n - 27 \neq 0$

$3n \neq 27$

$n \neq 9$

Теперь упростим выражение, разложив числитель $2n^2 - 13n - 45$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2n^2 - 13n - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 169 + 360 = 529 = 23^2$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{13 + 23}{2 \cdot 2} = \frac{36}{4} = 9$

$n_2 = \frac{13 - 23}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь мы можем представить числитель в виде произведения:

$2n^2 - 13n - 45 = 2(n - 9)(n - (-\frac{5}{2})) = (n - 9)(2n + 5)$

Подставим полученное разложение в исходную дробь и вынесем общий множитель в знаменателе:

$\frac{(n - 9)(2n + 5)}{3n - 27} = \frac{(n - 9)(2n + 5)}{3(n - 9)}$

Учитывая, что $n \neq 9$, мы можем сократить дробь на $(n - 9)$:

$\frac{2n + 5}{3}$

Задача свелась к нахождению всех целых $n$, при которых выражение $\frac{2n + 5}{3}$ является целым числом. Это выполняется тогда и только тогда, когда числитель $(2n + 5)$ делится на 3 без остатка.

Запишем это условие в виде сравнения по модулю 3:

$2n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то сравнение можно переписать как:

$2n + 2 \equiv 0 \pmod{3}$

$2(n + 1) \equiv 0 \pmod{3}$

Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, это сравнение будет верным, только если $(n + 1)$ делится на 3:

$n + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$n \equiv -1 \pmod{3}$

Что эквивалентно:

$n \equiv 2 \pmod{3}$

Это означает, что $n$ должно быть целым числом, которое при делении на 3 дает в остатке 2. Такие числа можно представить общей формулой:

$n = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $n = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число.