Номер 289, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

289. Записать формулу деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$:

1) $P(x) = x^2 - 5x + 6$, $Q(x) = x + 4$;

2) $P(x) = 4x^2 - x - 38$, $Q(x) = x + 3$;

3) $P(x) = x^3 - x^2 + 4$, $Q(x) = x + 2$;

4) $P(x) = 2x^3 + 8x^2 - 7$, $Q(x) = 2x^2 - 1$.

Формула деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$ с остатком имеет вид: $P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$, где $S(x)$ — частное (неполное частное), а $R(x)$ — остаток. Степень многочлена-остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $Q(x)$. Для нахождения частного и остатка используется метод деления многочленов "столбиком" (или "уголком").

1) $P(x) = x^2 - 5x + 6$, $Q(x) = x + 4$;

Выполним деление многочлена $P(x) = x^2 - 5x + 6$ на многочлен $Q(x) = x + 4$.

1. Делим старший член делимого ($x^2$) на старший член делителя ($x$): $x^2 / x = x$. Это первый член частного $S(x)$.

2. Умножаем делитель $(x + 4)$ на полученный член частного ($x$): $x \cdot (x + 4) = x^2 + 4x$.

3. Вычитаем полученное произведение из делимого: $(x^2 - 5x + 6) - (x^2 + 4x) = x^2 - 5x + 6 - x^2 - 4x = -9x + 6$.

4. Делим старший член нового делимого ($-9x$) на старший член делителя ($x$): $-9x / x = -9$. Это второй член частного $S(x)$.

5. Умножаем делитель $(x + 4)$ на полученный член частного ($-9$): $-9 \cdot (x + 4) = -9x - 36$.

6. Вычитаем полученное произведение из нового делимого: $(-9x + 6) - (-9x - 36) = -9x + 6 + 9x + 36 = 42$.

Степень остатка (равна 0) меньше степени делителя (равна 1), поэтому деление окончено. Частное $S(x) = x - 9$, остаток $R(x) = 42$.

Записываем формулу деления: $P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$.

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = (x + 4)(x - 9) + 42$.

2) $P(x) = 4x^2 - x - 38$, $Q(x) = x + 3$;

Выполним деление многочлена $P(x) = 4x^2 - x - 38$ на многочлен $Q(x) = x + 3$.

1. Делим старший член делимого ($4x^2$) на старший член делителя ($x$): $4x^2 / x = 4x$. Это первый член частного.

2. Умножаем делитель $(x + 3)$ на $4x$: $4x \cdot (x + 3) = 4x^2 + 12x$.

3. Вычитаем из делимого: $(4x^2 - x - 38) - (4x^2 + 12x) = 4x^2 - x - 38 - 4x^2 - 12x = -13x - 38$.

4. Делим старший член нового делимого ($-13x$) на старший член делителя ($x$): $-13x / x = -13$. Это второй член частного.

5. Умножаем делитель $(x + 3)$ на $-13$: $-13 \cdot (x + 3) = -13x - 39$.

6. Вычитаем из нового делимого: $(-13x - 38) - (-13x - 39) = -13x - 38 + 13x + 39 = 1$.

Степень остатка (0) меньше степени делителя (1), деление окончено. Частное $S(x) = 4x - 13$, остаток $R(x) = 1$.

Ответ: $4x^2 - x - 38 = (x + 3)(4x - 13) + 1$.

3) $P(x) = x^3 - x^2 + 4$, $Q(x) = x + 2$;

Выполним деление многочлена $P(x) = x^3 - x^2 + 0x + 4$ на многочлен $Q(x) = x + 2$.

1. Делим $x^3$ на $x$: $x^3 / x = x^2$.

2. Умножаем $x^2$ на $(x + 2)$: $x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2$.

3. Вычитаем: $(x^3 - x^2 + 4) - (x^3 + 2x^2) = -3x^2 + 4$.

4. Делим $-3x^2$ на $x$: $-3x^2 / x = -3x$.

5. Умножаем $-3x$ на $(x + 2)$: $-3x(x + 2) = -3x^2 - 6x$.

6. Вычитаем: $(-3x^2 + 4) - (-3x^2 - 6x) = -3x^2 + 4 + 3x^2 + 6x = 6x + 4$.

7. Делим $6x$ на $x$: $6x / x = 6$.

8. Умножаем $6$ на $(x + 2)$: $6(x + 2) = 6x + 12$.

9. Вычитаем: $(6x + 4) - (6x + 12) = 6x + 4 - 6x - 12 = -8$.

Степень остатка (0) меньше степени делителя (1), деление окончено. Частное $S(x) = x^2 - 3x + 6$, остаток $R(x) = -8$.

Ответ: $x^3 - x^2 + 4 = (x + 2)(x^2 - 3x + 6) - 8$.

4) $P(x) = 2x^3 + 8x^2 - 7$, $Q(x) = 2x^2 - 1$.

Выполним деление многочлена $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 0x - 7$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + 0x - 1$.

1. Делим $2x^3$ на $2x^2$: $2x^3 / 2x^2 = x$.

2. Умножаем $x$ на $(2x^2 - 1)$: $x(2x^2 - 1) = 2x^3 - x$.

3. Вычитаем: $(2x^3 + 8x^2 - 7) - (2x^3 - x) = 2x^3 + 8x^2 - 7 - 2x^3 + x = 8x^2 + x - 7$.

4. Делим $8x^2$ на $2x^2$: $8x^2 / 2x^2 = 4$.

5. Умножаем $4$ на $(2x^2 - 1)$: $4(2x^2 - 1) = 8x^2 - 4$.

6. Вычитаем: $(8x^2 + x - 7) - (8x^2 - 4) = 8x^2 + x - 7 - 8x^2 + 4 = x - 3$.

Степень остатка $x-3$ (равна 1) меньше степени делителя $2x^2 - 1$ (равна 2), деление окончено. Частное $S(x) = x + 4$, остаток $R(x) = x - 3$.

Ответ: $2x^3 + 8x^2 - 7 = (2x^2 - 1)(x + 4) + x - 3$.