Номер 291, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

291. Найти числа $a$ и $b$ из тождественного равенства:

1) $2x^5 - 4x^2 + 5x - 3 = (x-1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3);$

2) $x^5 + x^3 - 2 = (x-1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b).$

1) Чтобы найти числа $a$ и $b$ из тождественного равенства $2x^5 - 4x^2 + 5x - 3 = (x - 1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$, необходимо раскрыть скобки в правой части выражения и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ в левой и правой частях.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(x - 1)(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3) = x(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3) - 1(2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$

$= (2x^5 + ax^4 + bx^3 - 2x^2 + 3x) - (2x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 3)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= 2x^5 + (a - 2)x^4 + (b - a)x^3 + (-2 - b)x^2 + (3 - (-2))x - 3$

$= 2x^5 + (a - 2)x^4 + (b - a)x^3 + (-2 - b)x^2 + 5x - 3$

Теперь сравним коэффициенты полученного многочлена с многочленом в левой части исходного равенства: $2x^5 + 0x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 5x - 3$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

• При $x^4$: $a - 2 = 0$
• При $x^3$: $b - a = 0$
• При $x^2$: $-2 - b = -4$

Из первого уравнения находим $a$: $a = 2$.

Подставляем значение $a$ во второе уравнение: $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$.

Проверим найденные значения, подставив $b$ в третье уравнение: $-2 - 2 = -4$, что является верным равенством ($-4 = -4$). Коэффициенты при $x^5$, $x^1$ и свободные члены в обеих частях тождества также совпадают.

Таким образом, искомые значения найдены.

Ответ: $a = 2, b = 2$.

2) Аналогично решим второе тождественное равенство $x^5 + x^3 - 2 = (x - 1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$. Раскроем скобки в правой части.

$(x - 1)(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b) = x(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b) - 1(x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$

$= (x^5 - ax^4 + 2x^3 + 2x^2 + bx) - (x^4 - ax^3 + 2x^2 + 2x + b)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= x^5 + (-a - 1)x^4 + (2 - (-a))x^3 + (2 - 2)x^2 + (b - 2)x - b$

$= x^5 + (-a - 1)x^4 + (a + 2)x^3 + 0x^2 + (b - 2)x - b$

Теперь сравним коэффициенты полученного многочлена с многочленом в левой части исходного равенства: $x^5 + 0x^4 + 1x^3 + 0x^2 + 0x - 2$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

• При $x^4$: $-a - 1 = 0$
• При $x^3$: $a + 2 = 1$
• При $x$: $b - 2 = 0$
• Свободный член: $-b = -2$

Из первого уравнения находим $a$: $-a = 1 \Rightarrow a = -1$.

Проверим это значение во втором уравнении: $(-1) + 2 = 1$, что является верным равенством ($1 = 1$).

Из третьего уравнения находим $b$: $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$.

Проверим это значение в четвертом уравнении: $-2 = -2$, что также верно.

Таким образом, искомые значения найдены.

Ответ: $a = -1, b = 2$.