Номер 294, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

294. Найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$:

1) $P(x) = x^5 + 4x^4 + x^2 + 3, Q(x) = x^2 + 6x + 8;$

2) $P(x) = x^8 - 4x^6 + 3x^3 - x, Q(x) = x^2 - 4.$

1)

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^5 + 4x^4 + x^2 + 3$ на многочлен $Q(x) = x^2 + 6x + 8$, мы можем использовать теорему об остатках.

Остаток от деления, обозначим его $R(x)$, должен иметь степень, меньшую степени делителя $Q(x)$. Так как степень $Q(x)$ равна 2, то остаток будет многочленом степени не выше 1, то есть $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ – некоторые константы.

Процесс деления многочленов можно записать в виде равенства: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $S(x)$ – это частное.

Найдем корни многочлена-делителя $Q(x)$:
$x^2 + 6x + 8 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $Q(-2) = 0$ и $Q(-4) = 0$.

Если подставить эти корни в основное равенство, то слагаемое $S(x) \cdot Q(x)$ обратится в ноль:

$P(-2) = S(-2) \cdot Q(-2) + R(-2) = S(-2) \cdot 0 + R(-2) = R(-2)$

$P(-4) = S(-4) \cdot Q(-4) + R(-4) = S(-4) \cdot 0 + R(-4) = R(-4)$

Теперь вычислим значения многочлена $P(x)$ в этих точках:

$P(-2) = (-2)^5 + 4(-2)^4 + (-2)^2 + 3 = -32 + 4(16) + 4 + 3 = -32 + 64 + 4 + 3 = 39$

$P(-4) = (-4)^5 + 4(-4)^4 + (-4)^2 + 3 = -1024 + 4(256) + 16 + 3 = -1024 + 1024 + 16 + 3 = 19$

Мы получили значения остатка $R(x) = ax+b$ в точках $-2$ и $-4$:

$R(-2) = a(-2) + b = -2a + b = 39$

$R(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 19$

Теперь решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} -2a + b = 39 \\ -4a + b = 19 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(-2a + b) - (-4a + b) = 39 - 19$
$2a = 20$
$a = 10$

Подставим найденное значение $a=10$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$-2(10) + b = 39$
$-20 + b = 39$
$b = 59$

Таким образом, коэффициенты найдены, и остаток от деления равен $R(x) = 10x + 59$.

Ответ: $10x + 59$

2)

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^8 - 4x^6 + 3x^3 - x$ на многочлен $Q(x) = x^2 - 4$ воспользуемся тем же методом.

Степень делителя $Q(x)$ равна 2, поэтому остаток $R(x)$ ищем в виде $R(x) = ax + b$.

Основное равенство: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$.

Найдем корни многочлена $Q(x)$:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставляя корни в основное равенство, получаем $P(2) = R(2)$ и $P(-2) = R(-2)$.

Вычислим значения многочлена $P(x)$ в этих точках:

$P(2) = 2^8 - 4(2^6) + 3(2^3) - 2 = 256 - 4(64) + 3(8) - 2 = 256 - 256 + 24 - 2 = 22$

$P(-2) = (-2)^8 - 4(-2)^6 + 3(-2)^3 - (-2) = 256 - 4(64) + 3(-8) + 2 = 256 - 256 - 24 + 2 = -22$

Мы получили значения остатка $R(x) = ax+b$ в точках $2$ и $-2$:

$R(2) = a(2) + b = 2a + b = 22$

$R(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -22$

Решим полученную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = 22 \\ -2a + b = -22 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(2a + b) + (-2a + b) = 22 + (-22)$
$2b = 0$
$b = 0$

Подставим $b=0$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:
$2a + 0 = 22$
$2a = 22$
$a = 11$

Таким образом, остаток от деления равен $R(x) = 11x + 0 = 11x$.

Ответ: $11x$