Номер 297, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

297. При каких целых значениях $n$ выражение $\frac{2n^2 - 13n - 45}{3n - 27}$ является целым числом?

Для того чтобы выражение $\frac{2n^2 - 13n - 45}{3n - 27}$ было целым числом, необходимо, чтобы $n$ было целым числом, а числитель делился на знаменатель нацело.

Сначала найдем область допустимых значений для $n$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$3n - 27 \neq 0$

$3n \neq 27$

$n \neq 9$

Теперь упростим выражение, разложив числитель $2n^2 - 13n - 45$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2n^2 - 13n - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 169 + 360 = 529 = 23^2$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{13 + 23}{2 \cdot 2} = \frac{36}{4} = 9$

$n_2 = \frac{13 - 23}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь мы можем представить числитель в виде произведения:

$2n^2 - 13n - 45 = 2(n - 9)(n - (-\frac{5}{2})) = (n - 9)(2n + 5)$

Подставим полученное разложение в исходную дробь и вынесем общий множитель в знаменателе:

$\frac{(n - 9)(2n + 5)}{3n - 27} = \frac{(n - 9)(2n + 5)}{3(n - 9)}$

Учитывая, что $n \neq 9$, мы можем сократить дробь на $(n - 9)$:

$\frac{2n + 5}{3}$

Задача свелась к нахождению всех целых $n$, при которых выражение $\frac{2n + 5}{3}$ является целым числом. Это выполняется тогда и только тогда, когда числитель $(2n + 5)$ делится на 3 без остатка.

Запишем это условие в виде сравнения по модулю 3:

$2n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то сравнение можно переписать как:

$2n + 2 \equiv 0 \pmod{3}$

$2(n + 1) \equiv 0 \pmod{3}$

Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, это сравнение будет верным, только если $(n + 1)$ делится на 3:

$n + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$n \equiv -1 \pmod{3}$

Что эквивалентно:

$n \equiv 2 \pmod{3}$

Это означает, что $n$ должно быть целым числом, которое при делении на 3 дает в остатке 2. Такие числа можно представить общей формулой:

$n = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $n = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число.