Номер 303, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

303. Найти корни многочлена третьей степени:

1) $4x^3 - x$;

2) $x^3 - x^2 - 16x + 16$;

3) $x^3 + 2x^2 - x - 2$;

4) $2x^3 - x^2 - 50x + 25$.

1) $4x^3 - x$

Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$4x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1. $x = 0$ (это первый корень).

2. $4x^2 - 1 = 0$.

Решим второе уравнение. Его можно представить как разность квадратов $(2x)^2 - 1^2 = 0$.

$(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$

Таким образом, многочлен имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = -1/2$.

2) $x^3 - x^2 - 16x + 16$

Приравняем многочлен к нулю:

$x^3 - x^2 - 16x + 16 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - x^2) + (-16x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 16(x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

2. $x^2 - 16 = 0$.

Решим второе уравнение, которое является разностью квадратов:

$x^2 - 4^2 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Таким образом, найдены все три корня многочлена.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

3) $x^3 + 2x^2 - x - 2$

Приравняем многочлен к нулю:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Используем метод группировки:

$(x^3 + 2x^2) + (-x - 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

2. $x^2 - 1 = 0$.

Второе уравнение — это разность квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда находим оставшиеся корни:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Таким образом, найдены все три корня.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

4) $2x^3 - x^2 - 50x + 25$

Приравняем многочлен к нулю:

$2x^3 - x^2 - 50x + 25 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^3 - x^2) + (-50x + 25) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) - 25(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(2x - 1)(x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$.

2. $x^2 - 25 = 0$.

Второе уравнение — это разность квадратов:

$x^2 - 5^2 = 0$

$(x - 5)(x + 5) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

Таким образом, найдены все три корня.

Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_2 = 5$, $x_3 = -5$.