Номер 310, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

310. Решить уравнение, если известен один его корень:

1) $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0, x_1 = -3;$

2) $2x^3 + x^2 - 4x - 2 = 0, x_1 = -\frac{1}{2}.$

1) $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0$, $x_1 = -3$

Поскольку $x_1 = -3$ является корнем уравнения, то многочлен в левой части уравнения делится на $(x - (-3))$, то есть на $(x+3)$, без остатка. Это позволяет нам разложить многочлен на множители, чтобы найти остальные корни. В данном случае удобно применить метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(x^3 + 3x^2) - (25x + 75) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x+3) - 25(x+3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$x+3 = 0$ или $x^2 - 25 = 0$.

Решая первое уравнение, получаем $x_1 = -3$, что является известным корнем.

Решая второе уравнение, получаем $x^2 = 25$, откуда $x = \pm\sqrt{25}$. Следовательно, $x_2 = 5$ и $x_3 = -5$.

Таким образом, все корни исходного уравнения: $-5, -3, 5$.

Ответ: $-5, -3, 5$.

2) $2x^3 + x^2 - 4x - 2 = 0$, $x_1 = -1/2$

Так как $x_1 = -1/2$ является корнем, то многочлен $2x^3 + x^2 - 4x - 2$ делится на $(x - (-1/2))$, или, что то же самое, на $(2x+1)$ без остатка. Для нахождения остальных корней разложим многочлен на множители методом группировки.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^3 + x^2) - (4x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(2x+1) - 2(2x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x+1)$ за скобки:

$(2x+1)(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$2x+1 = 0$ или $x^2 - 2 = 0$.

Из первого уравнения $2x = -1$ находим корень $x_1 = -1/2$, который был дан в условии.

Из второго уравнения $x^2 = 2$ находим остальные корни: $x = \pm\sqrt{2}$. Следовательно, $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Таким образом, все корни исходного уравнения: $-\sqrt{2}, -1/2, \sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}, -1/2, \sqrt{2}$.