Номер 312, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

312. При делении многочлена на $x+3$ остаток равен 10, а при делении его на $x+5$ остаток равен 14. Найти остаток при делении этого многочлена на $x^2+8x+15$.

Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать:

1. При делении $P(x)$ на $x+3$ (то есть на $x-(-3)$) остаток равен 10. Это означает, что $P(-3) = 10$.

2. При делении $P(x)$ на $x+5$ (то есть на $x-(-5)$) остаток равен 14. Это означает, что $P(-5) = 14$.

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на квадратный трехчлен $x^2+8x+15$. Степень делителя равна 2, поэтому остаток от деления будет многочленом, степень которого строго меньше 2. Таким образом, искомый остаток $R(x)$ можно представить в виде линейной функции $R(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ – это коэффициенты, которые нужно найти.

Запишем деление многочлена $P(x)$ на $x^2+8x+15$ с остатком:

$P(x) = (x^2+8x+15) \cdot Q(x) + (ax+b)$

где $Q(x)$ — это частное от деления.

Разложим делитель $x^2+8x+15$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2+8x+15=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $15$. Корнями являются $x_1=-3$ и $x_2=-5$.

Следовательно, $x^2+8x+15 = (x+3)(x+5)$.

Перепишем наше равенство с разложенным делителем:

$P(x) = (x+3)(x+5) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Теперь мы можем использовать известные нам значения $P(-3)$ и $P(-5)$. Подставим значения $x=-3$ и $x=-5$ в это равенство.

При $x=-3$:

$P(-3) = (-3+3)(-3+5) \cdot Q(-3) + a(-3) + b$

$P(-3) = 0 \cdot 2 \cdot Q(-3) - 3a + b$

Так как $P(-3)=10$, получаем первое уравнение:

$10 = -3a + b$

При $x=-5$:

$P(-5) = (-5+3)(-5+5) \cdot Q(-5) + a(-5) + b$

$P(-5) = (-2) \cdot 0 \cdot Q(-5) - 5a + b$

Так как $P(-5)=14$, получаем второе уравнение:

$14 = -5a + b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} -3a + b = 10 \\ -5a + b = 14 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:

$(-5a+b) - (-3a+b) = 14 - 10$

$-5a + b + 3a - b = 4$

$-2a = 4$

$a = -2$

Теперь подставим найденное значение $a=-2$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$-3(-2) + b = 10$

$6 + b = 10$

$b = 10 - 6$

$b = 4$

Мы нашли коэффициенты $a=-2$ и $b=4$. Таким образом, искомый остаток $R(x) = ax+b$ имеет вид $-2x+4$.

Ответ: $-2x+4$