Страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

312. При делении многочлена на $x+3$ остаток равен 10, а при делении его на $x+5$ остаток равен 14. Найти остаток при делении этого многочлена на $x^2+8x+15$.

Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать:

1. При делении $P(x)$ на $x+3$ (то есть на $x-(-3)$) остаток равен 10. Это означает, что $P(-3) = 10$.

2. При делении $P(x)$ на $x+5$ (то есть на $x-(-5)$) остаток равен 14. Это означает, что $P(-5) = 14$.

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на квадратный трехчлен $x^2+8x+15$. Степень делителя равна 2, поэтому остаток от деления будет многочленом, степень которого строго меньше 2. Таким образом, искомый остаток $R(x)$ можно представить в виде линейной функции $R(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ – это коэффициенты, которые нужно найти.

Запишем деление многочлена $P(x)$ на $x^2+8x+15$ с остатком:

$P(x) = (x^2+8x+15) \cdot Q(x) + (ax+b)$

где $Q(x)$ — это частное от деления.

Разложим делитель $x^2+8x+15$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2+8x+15=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $15$. Корнями являются $x_1=-3$ и $x_2=-5$.

Следовательно, $x^2+8x+15 = (x+3)(x+5)$.

Перепишем наше равенство с разложенным делителем:

$P(x) = (x+3)(x+5) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Теперь мы можем использовать известные нам значения $P(-3)$ и $P(-5)$. Подставим значения $x=-3$ и $x=-5$ в это равенство.

При $x=-3$:

$P(-3) = (-3+3)(-3+5) \cdot Q(-3) + a(-3) + b$

$P(-3) = 0 \cdot 2 \cdot Q(-3) - 3a + b$

Так как $P(-3)=10$, получаем первое уравнение:

$10 = -3a + b$

При $x=-5$:

$P(-5) = (-5+3)(-5+5) \cdot Q(-5) + a(-5) + b$

$P(-5) = (-2) \cdot 0 \cdot Q(-5) - 5a + b$

Так как $P(-5)=14$, получаем второе уравнение:

$14 = -5a + b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} -3a + b = 10 \\ -5a + b = 14 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:

$(-5a+b) - (-3a+b) = 14 - 10$

$-5a + b + 3a - b = 4$

$-2a = 4$

$a = -2$

Теперь подставим найденное значение $a=-2$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$-3(-2) + b = 10$

$6 + b = 10$

$b = 10 - 6$

$b = 4$

Мы нашли коэффициенты $a=-2$ и $b=4$. Таким образом, искомый остаток $R(x) = ax+b$ имеет вид $-2x+4$.

Ответ: $-2x+4$

313. При делении многочлена на $x + 2$ остаток равен 6, при делении его на $x - 3$ остаток равен 26, а при делении его на $x + 4$ остаток равен 12. Найти остаток при делении этого многочлена на $(x + 2)(x - 3)(x + 4)$.

Пусть $P(x)$ — данный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен $P(c)$.

Из условий задачи следует:

• При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 6, значит $P(-2) = 6$.
• При делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 26, значит $P(3) = 26$.
• При делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 12, значит $P(-4) = 12$.

Мы ищем остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x) = (x+2)(x-3)(x+4)$. Так как степень делителя $Q(x)$ равна 3, то остаток $R(x)$ будет многочленом, степень которого не выше 2. Запишем остаток в общем виде: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

По определению деления с остатком, существует такой многочлен $S(x)$ (частное), что:

$P(x) = (x+2)(x-3)(x+4) \cdot S(x) + ax^2 + bx + c$

Теперь используем известные нам значения $P(x)$ в точках -2, 3 и -4, чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

При $x = -2$:

$P(-2) = (-2+2)(-2-3)(-2+4) \cdot S(-2) + a(-2)^2 + b(-2) + c$

$6 = 0 \cdot S(-2) + 4a - 2b + c$

$4a - 2b + c = 6$ (1)

При $x = 3$:

$P(3) = (3+2)(3-3)(3+4) \cdot S(3) + a(3)^2 + b(3) + c$

$26 = 0 \cdot S(3) + 9a + 3b + c$

$9a + 3b + c = 26$ (2)

При $x = -4$:

$P(-4) = (-4+2)(-4-3)(-4+4) \cdot S(-4) + a(-4)^2 + b(-4) + c$

$12 = 0 \cdot S(-4) + 16a - 4b + c$

$16a - 4b + c = 12$ (3)

В результате мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}4a - 2b + c = 6 \\9a + 3b + c = 26 \\16a - 4b + c = 12\end{cases}$

Решим эту систему. Для начала вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от переменной $c$.

Вычитаем (1) из (2):

$(9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 26 - 6$

$5a + 5b = 20$, разделим на 5: $a + b = 4$ (4)

Вычитаем (1) из (3):

$(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 12 - 6$

$12a - 2b = 6$, разделим на 2: $6a - b = 3$ (5)

Теперь у нас есть более простая система из двух уравнений:

$\begin{cases}a + b = 4 \\6a - b = 3\end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a + b) + (6a - b) = 4 + 3$

$7a = 7 \implies a = 1$

Подставим $a = 1$ в уравнение (4):

$1 + b = 4 \implies b = 3$

Наконец, подставим $a = 1$ и $b = 3$ в исходное уравнение (1):

$4(1) - 2(3) + c = 6$

$4 - 6 + c = 6$

$-2 + c = 6 \implies c = 8$

Таким образом, мы нашли коэффициенты остатка: $a=1, b=3, c=8$.

Искомый остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x^2 + 3x + 8$.

Ответ: $x^2+3x+8$

314. Найти такие числа $b$ и $c$, чтобы многочлен $x^5 + bx^4 + cx^3$ делился на $x+2$ и $x-3$.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^5 + bx^4 + cx^3$.

Согласно теореме Безу, если многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка, то значение многочлена при $x = a$ равно нулю, то есть $P(a) = 0$.

По условию задачи, многочлен $P(x)$ делится на $(x + 2)$ и $(x - 3)$. Это означает, что $x = -2$ и $x = 3$ являются корнями данного многочлена.

1. Подставим корень $x = -2$ в многочлен и приравняем результат к нулю: $P(-2) = (-2)^5 + b(-2)^4 + c(-2)^3 = 0$ $-32 + 16b - 8c = 0$ Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 8: $-4 + 2b - c = 0$ $2b - c = 4$

2. Подставим корень $x = 3$ в многочлен и также приравняем результат к нулю: $P(3) = 3^5 + b \cdot 3^4 + c \cdot 3^3 = 0$ $243 + 81b + 27c = 0$ Чтобы упростить это уравнение, разделим все его члены на 27: $9 + 3b + c = 0$ $3b + c = -9$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $b$ и $c$: $\begin{cases} 2b - c = 4 \\ 3b + c = -9 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений: $(2b - c) + (3b + c) = 4 + (-9)$ $5b = -5$ $b = -1$

Подставим найденное значение $b = -1$ в первое уравнение системы ($2b - c = 4$) для нахождения $c$: $2(-1) - c = 4$ $-2 - c = 4$ $-c = 4 + 2$ $-c = 6$ $c = -6$

Проверим найденные значения, подставив их во второе уравнение ($3b + c = -9$): $3(-1) + (-6) = -3 - 6 = -9$ $-9 = -9$ Значения найдены верно.

Ответ: $b = -1, c = -6$.

315. Доказать, что многочлен $x^9 + bx^8 + cx^7$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$, где $a_1a_2 \neq 0$, тогда и только тогда, когда $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$.

Обозначим данный многочлен как $P(x) = x^9 + bx^8 + cx^7$. Для удобства вынесем общий множитель $x^7$ за скобки: $P(x) = x^7(x^2 + bx + c)$. Доказательство утверждения "тогда и только тогда" требует рассмотрения двух направлений: достаточности и необходимости.

Достаточность (⇐)

Докажем, что если $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$, то многочлен $P(x)$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$. Подставим данные выражения для $b$ и $c$ в $P(x)$: $P(x) = x^7(x^2 + (a_1 + a_2)x + a_1a_2)$. Квадратный трехчлен в скобках представляет собой разложение произведения $(x + a_1)(x + a_2)$. Таким образом, $P(x) = x^7(x + a_1)(x + a_2)$. Из этого представления видно, что $P(x)$ содержит множители $(x + a_1)$ и $(x + a_2)$, а значит, делится на каждый из них нацело. Эта часть доказательства верна при любых $a_1$ и $a_2$.

Необходимость (⇒)

Докажем, что если $P(x)$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$, то $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$. По теореме Безу, если многочлен делится на двучлен $(x - k)$, то $k$ является корнем многочлена. Следовательно, из условий делимости вытекает, что $P(-a_1) = 0$ и $P(-a_2) = 0$. Рассмотрим эти равенства: $P(-a_1) = (-a_1)^7((-a_1)^2 + b(-a_1) + c) = -a_1^7(a_1^2 - ba_1 + c) = 0$. $P(-a_2) = (-a_2)^7((-a_2)^2 + b(-a_2) + c) = -a_2^7(a_2^2 - ba_2 + c) = 0$. Согласно условию $a_1a_2 \neq 0$, имеем $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$, поэтому $-a_1^7 \neq 0$ и $-a_2^7 \neq 0$. Значит, должны быть равны нулю выражения в скобках:
1) $a_1^2 - ba_1 + c = 0$
2) $a_2^2 - ba_2 + c = 0$
Эти два равенства показывают, что $a_1$ и $a_2$ являются корнями квадратного уравнения $y^2 - by + c = 0$. Если предположить, что $a_1 \neq a_2$, то $a_1$ и $a_2$ являются двумя различными корнями этого уравнения. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма его корней равна $a_1 + a_2 = -(-b) = b$, а произведение корней равно $a_1a_2 = c$. Это и есть доказываемые соотношения. Следует отметить, что если $a_1 = a_2$, то два вышеуказанных условия становятся одним и тем же уравнением $a_1^2 - ba_1 + c = 0$, которого недостаточно для однозначного определения $b$ и $c$. Таким образом, условие задачи неявно предполагает, что $a_1 \neq a_2$.

Ответ: Утверждение доказано.