Номер 315, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

315. Доказать, что многочлен $x^9 + bx^8 + cx^7$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$, где $a_1a_2 \neq 0$, тогда и только тогда, когда $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$.

Обозначим данный многочлен как $P(x) = x^9 + bx^8 + cx^7$. Для удобства вынесем общий множитель $x^7$ за скобки: $P(x) = x^7(x^2 + bx + c)$. Доказательство утверждения "тогда и только тогда" требует рассмотрения двух направлений: достаточности и необходимости.

Достаточность (⇐)

Докажем, что если $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$, то многочлен $P(x)$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$. Подставим данные выражения для $b$ и $c$ в $P(x)$: $P(x) = x^7(x^2 + (a_1 + a_2)x + a_1a_2)$. Квадратный трехчлен в скобках представляет собой разложение произведения $(x + a_1)(x + a_2)$. Таким образом, $P(x) = x^7(x + a_1)(x + a_2)$. Из этого представления видно, что $P(x)$ содержит множители $(x + a_1)$ и $(x + a_2)$, а значит, делится на каждый из них нацело. Эта часть доказательства верна при любых $a_1$ и $a_2$.

Необходимость (⇒)

Докажем, что если $P(x)$ делится на $x + a_1$ и на $x + a_2$, то $b = a_1 + a_2$ и $c = a_1a_2$. По теореме Безу, если многочлен делится на двучлен $(x - k)$, то $k$ является корнем многочлена. Следовательно, из условий делимости вытекает, что $P(-a_1) = 0$ и $P(-a_2) = 0$. Рассмотрим эти равенства: $P(-a_1) = (-a_1)^7((-a_1)^2 + b(-a_1) + c) = -a_1^7(a_1^2 - ba_1 + c) = 0$. $P(-a_2) = (-a_2)^7((-a_2)^2 + b(-a_2) + c) = -a_2^7(a_2^2 - ba_2 + c) = 0$. Согласно условию $a_1a_2 \neq 0$, имеем $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$, поэтому $-a_1^7 \neq 0$ и $-a_2^7 \neq 0$. Значит, должны быть равны нулю выражения в скобках:
1) $a_1^2 - ba_1 + c = 0$
2) $a_2^2 - ba_2 + c = 0$
Эти два равенства показывают, что $a_1$ и $a_2$ являются корнями квадратного уравнения $y^2 - by + c = 0$. Если предположить, что $a_1 \neq a_2$, то $a_1$ и $a_2$ являются двумя различными корнями этого уравнения. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма его корней равна $a_1 + a_2 = -(-b) = b$, а произведение корней равно $a_1a_2 = c$. Это и есть доказываемые соотношения. Следует отметить, что если $a_1 = a_2$, то два вышеуказанных условия становятся одним и тем же уравнением $a_1^2 - ba_1 + c = 0$, которого недостаточно для однозначного определения $b$ и $c$. Таким образом, условие задачи неявно предполагает, что $a_1 \neq a_2$.

Ответ: Утверждение доказано.