Номер 317, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (317–318).

317.

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0;$

2) $x^3 + 3x^2 + 6x - 4 = 0.$

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Для решения данного кубического уравнения попробуем найти целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Свободный член равен 6. Его делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения путем подстановки в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4(1) - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.

Так как при $x = -1$ уравнение обращается в верное равенство, то $x_1 = -1$ является одним из корней. Это значит, что многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ делится на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка. Выполним деление многочленов (например, "в столбик" или по схеме Горнера).

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x+1) = x^2 - 5x + 6$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(x+1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Мы уже знаем, что $x+1=0$ дает корень $x_1 = -1$. Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$. Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$,

$x_3 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $\{-1; 2; 3\}$.

2) $x^3 + 3x^2 + 6x - 4 = 0$

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена, равного -4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Подставим их в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 + 3(1)^2 + 6(1) - 4 = 1 + 3 + 6 - 4 = 6 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 + 3(-1)^2 + 6(-1) - 4 = -1 + 3 - 6 - 4 = -8 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 + 3(2)^2 + 6(2) - 4 = 8 + 12 + 12 - 4 = 28 \neq 0$.

Проверка показывает, что целых корней у уравнения нет.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 4$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 6 = 3(x^2 + 2x + 2)$.

Для квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 2$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда больше нуля. Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для любого $x$, а значит функция $f(x)$ строго возрастает.

Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно один действительный корень. Поскольку $f(0) = -4$, а $f(1) = 6$, корень находится в интервале $(0, 1)$ и является иррациональным.

Для нахождения точного значения корня используем формулу Кардано. Сначала приведем уравнение к виду $y^3+py+q=0$ с помощью замены $x = y - \frac{a_1}{3a_0} = y - \frac{3}{3 \cdot 1} = y - 1$.

Подставим $x=y-1$ в уравнение:

$(y-1)^3 + 3(y-1)^2 + 6(y-1) - 4 = 0$

$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) + 3(y^2 - 2y + 1) + 6y - 6 - 4 = 0$

$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 3y^2 - 6y + 3 + 6y - 10 = 0$

$y^3 + 3y - 8 = 0$

Теперь применим формулу Кардано для $p=3$ и $q=-8$:

$y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}$

$y = \sqrt[3]{-\frac{-8}{2} + \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 + (\frac{3}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{-8}{2} - \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 + (\frac{3}{3})^3}}$

$y = \sqrt[3]{4 + \sqrt{(-4)^2 + 1^3}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{(-4)^2 + 1^3}}$

$y = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}$

Произведем обратную замену $x = y - 1$:

$x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}} - 1$

Это единственный действительный корень уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}} - 1$.