Номер 321, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

321. Числа 3 и -4 являются корнями уравнения $x^3 + x^2 + ax + b = 0$. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Пусть дано кубическое уравнение $x^3 + x^2 + ax + b = 0$. По условию, $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$ являются корнями этого уравнения. Обозначим третий корень через $x_3$.

Для нахождения неизвестных параметров и третьего корня воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. Для общего приведенного кубического уравнения вида $x^3 + Px^2 + Qx + R = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -P$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = Q$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -R$

В нашем уравнении $x^3 + 1 \cdot x^2 + a \cdot x + b = 0$ коэффициенты при степенях $x$ равны $P=1$, $Q=a$ и $R=b$.

Нахождение третьего корня

Применим первое соотношение Виета для суммы корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -P$ Подставим известные значения корней $x_1=3$, $x_2=-4$ и коэффициент $P=1$: $3 + (-4) + x_3 = -1$ $-1 + x_3 = -1$ $x_3 = -1 + 1 = 0$ Следовательно, третий корень уравнения равен 0.

Нахождение коэффициентов $a$ и $b$

Теперь, зная все три корня ($x_1=3$, $x_2=-4$, $x_3=0$), мы можем найти коэффициенты $a$ и $b$ с помощью двух других соотношений Виета.

Для коэффициента $a$ (который соответствует $Q$) используем формулу для суммы попарных произведений корней: $a = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$ $a = (3)(-4) + (3)(0) + (-4)(0)$ $a = -12 + 0 + 0$ $a = -12$

Для коэффициента $b$ (который соответствует $R$) используем формулу для произведения корней: $-b = x_1x_2x_3$ $-b = (3)(-4)(0)$ $-b = 0$ $b = 0$

Для проверки подставим найденные коэффициенты в исходное уравнение: $x^3 + x^2 - 12x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 + x - 12) = 0$. Корни этого уравнения: $x=0$ и корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2+x-12$ это $x=3$ и $x=-4$. Таким образом, все три корня уравнения ($0, 3, -4$) и коэффициенты ($a=-12, b=0$) найдены верно.

Ответ: $a = -12$, $b = 0$, третий корень равен $0$.