Номер 328, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

328. Ввести вспомогательное неизвестное и решить уравнение:

1) $(2x^2 - x - 1)(2x^2 - x - 5) - 5 = 0;$

2) $(3x^2 - x - 4)(3x^2 - x + 2) - 7 = 0.$

1) $(2x^2 - x - 1)(2x^2 - x - 5) - 5 = 0$
Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $2x^2 - x$. Для его решения введем вспомогательное неизвестное.
Пусть $t = 2x^2 - x$.
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$(t - 1)(t - 5) - 5 = 0$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$t^2 - 5t - t + 5 - 5 = 0$
$t^2 - 6t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(t - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = 6$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$ и решим полученные квадратные уравнения.

Случай 1: $t = 0$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
$x_1 = 0$ или $2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = 6$
$2x^2 - x = 6$
$2x^2 - x - 6 = 0$
Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.
$x_3 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_4 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все корни исходного уравнения.
Ответ: $0; \frac{1}{2}; 2; -\frac{3}{2}$.

2) $(3x^2 - x - 4)(3x^2 - x + 2) - 7 = 0$
Аналогично первому уравнению, введем замену для повторяющегося выражения.
Пусть $t = 3x^2 - x$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$(t - 4)(t + 2) - 7 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 2t - 4t - 8 - 7 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15. Корнями являются числа 5 и -3.
$t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 5$
$3x^2 - x = 5$
$3x^2 - x - 5 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 1 + 60 = 61$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}$.

Случай 2: $t = -3$
$3x^2 - x = -3$
$3x^2 - x + 3 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решения исходного уравнения существуют только в первом случае.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}$.