Номер 324, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

324. Выяснить, является ли число $a$ корнем многочлена $P(x)$, и найти другие целые его корни, если они имеются:

1) $P(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24, a=-1;$

2) $P(x)=6x^4+5x^3-14x^2+x+2, a=1.$

1) $P(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24, a = -1$

Сначала проверим, является ли число $a = -1$ корнем многочлена $P(x)$. Для этого подставим $x = -1$ в выражение для $P(x)$:
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 13(-1)^2 + 14(-1) + 24 = 1 - 2(-1) - 13(1) - 14 + 24 = 1 + 2 - 13 - 14 + 24 = 0$.
Так как $P(-1) = 0$, то число $a = -1$ является корнем многочлена $P(x)$.

Теперь найдем другие целые корни. Поскольку $x = -1$ является корнем, многочлен $P(x)$ делится на $(x - (-1)) = (x + 1)$ без остатка. Воспользуемся схемой Горнера для деления многочлена $P(x)$ на $(x+1)$:

В результате деления получили многочлен $Q(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$. Теперь нам нужно найти целые корни этого многочлена. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В нашем случае, делителями числа 24 являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24$.
Проверим некоторые из них, подставляя в $Q(x)$:
$Q(2) = 2^3 - 3(2^2) - 10(2) + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0$.
Значит, $x = 2$ является корнем. Снова разделим многочлен, теперь $Q(x)$ на $(x-2)$:

Получили квадратный трехчлен $x^2 - x - 12$. Найдем его корни, решив уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Оба корня являются целыми числами.
Таким образом, все целые корни многочлена $P(x)$ это -1, 2, -3, 4. Другие целые корни, помимо $a=-1$, это 2, -3 и 4.
Ответ: Да, $a=-1$ является корнем. Другие целые корни: -3, 2, 4.

2) $P(x) = 6x^4 + 5x^3 - 14x^2 + x + 2, a = 1$

Проверим, является ли число $a = 1$ корнем многочлена $P(x)$. Подставим $x = 1$ в выражение для $P(x)$:
$P(1) = 6(1)^4 + 5(1)^3 - 14(1)^2 + 1 + 2 = 6 + 5 - 14 + 1 + 2 = 0$.
Так как $P(1) = 0$, то число $a = 1$ является корнем многочлена $P(x)$.

Найдем другие целые корни. Разделим многочлен $P(x)$ на $(x - 1)$ с помощью схемы Горнера:

В результате деления получили многочлен $Q(x) = 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2$. Целые корни этого многочлена (если они существуют) должны быть делителями свободного члена -2. Делители числа -2: $\pm1, \pm2$.
Проверим их:
$Q(1) = 6(1)^3 + 11(1)^2 - 3(1) - 2 = 6 + 11 - 3 - 2 = 12 \ne 0$.
$Q(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 3(-1) - 2 = -6 + 11 + 3 - 2 = 6 \ne 0$.
$Q(2) = 6(2)^3 + 11(2)^2 - 3(2) - 2 = 48 + 44 - 6 - 2 = 84 \ne 0$.
$Q(-2) = 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - 3(-2) - 2 = 6(-8) + 11(4) + 6 - 2 = -48 + 44 + 6 - 2 = 0$.
Значит, $x = -2$ является корнем. Снова разделим многочлен, теперь $Q(x)$ на $(x - (-2)) = (x+2)$:

Получили квадратный трехчлен $6x^2 - x - 1$. Найдем его корни, решив уравнение:
$6x^2 - x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$.
$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Эти корни не являются целыми числами.
Следовательно, единственный другой целый корень многочлена $P(x)$ - это $x=-2$.
Ответ: Да, $a=1$ является корнем. Другой целый корень: -2.