Номер 318, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

318. 1) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = 0;$

2) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 = 0.$

1) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = 0$

Решим данное уравнение методом группировки. Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить общие множители:

$(x^4 - 8x^2 + 16) + (-3x^3 + 12x) = 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом разности $(x^2 - 4)$. Из второй скобки вынесем общий множитель $-3x$:

$(x^2 - 4)^2 - 3x(x^2 - 4) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - 4)( (x^2 - 4) - 3x ) = 0$

$(x^2 - 4)(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух квадратных уравнений:

1. $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2. $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, разложив на множители. По теореме Виета, корни уравнения $x_3$ и $x_4$ должны удовлетворять условиям $x_3 \cdot x_4 = -4$ и $x_3 + x_4 = 3$. Подбором находим корни $x_3 = 4$ и $x_4 = -1$.

Уравнение можно записать в виде:

$(x - 4)(x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 4$, $x_4 = -1$.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \{-2, -1, 2, 4\}$.

2) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим это уравнение также методом группировки. Перегруппируем слагаемые:

$(x^4 + x^2 - 2) + (-3x^3 + 3x) = 0$

Выражение в первой скобке $x^4 + x^2 - 2$ можно разложить на множители, рассмотрев его как квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $t = x^2$, тогда имеем $t^2 + t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Следовательно, $t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2)$, а значит $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель $-3x$:

$(x^2 - 1)(x^2 + 2) - 3x(x^2 - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)( (x^2 + 2) - 3x ) = 0$

$(x^2 - 1)(x^2 - 3x + 2) = 0$

Разложим каждый из множителей на линейные:

Первый множитель $x^2 - 1$ — это разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель $x^2 - 3x + 2$ — это квадратный трехчлен, корни которого по теореме Виета равны $1$ и $2$. Значит, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим разложения в наше уравнение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

Сгруппируем одинаковые множители:

$(x - 1)^2(x + 1)(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ (корень кратности 2)

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_3 = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $x \in \{-1, 1, 2\}$.