Номер 316, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

316. Решить уравнение, если известен один его корень:

1) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0, x_1 = 2;$

2) $2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0, x_1 = -1;$

3) $2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9 = 0, x_1 = \frac{1}{2};$

4) $3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4 = 0, x_1 = -\frac{1}{3}.$

1) Дано уравнение $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0$ и один из его корней $x_1 = 2$.
Согласно теореме Безу, если $x_1 = 2$ является корнем многочлена, то многочлен $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, чтобы понизить степень уравнения.
$(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6) : (x - 2) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$(x - 2)(x^3 + 3x^2 - x - 3) = 0$.
Найдем корни уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$. Сгруппируем слагаемые:
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
Отсюда получаем еще три корня: $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = -3$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $2, 1, -1, -3$.
Ответ: $x \in \{-3, -1, 1, 2\}$.

2) Дано уравнение $2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0$ и один из его корней $x_1 = -1$.
Так как $x_1 = -1$ является корнем, то многочлен делится на $(x - (-1)) = (x + 1)$. Выполним деление:
$(2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5) : (x + 1) = 2x^3 + 10x^2 + x + 5$.
Получаем уравнение:
$(x + 1)(2x^3 + 10x^2 + x + 5) = 0$.
Решим уравнение $2x^3 + 10x^2 + x + 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые:
$2x^2(x + 5) + 1(x + 5) = 0$
$(2x^2 + 1)(x + 5) = 0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$.
2) $2x^2 + 1 = 0 \implies 2x^2 = -1 \implies x^2 = -1/2$.
Это уравнение не имеет действительных корней. В поле комплексных чисел корни равны $x = \pm \sqrt{-1/2} = \pm i\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $-1, -5, \frac{i\sqrt{2}}{2}, -\frac{i\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $x \in \{-5, -1, -\frac{i\sqrt{2}}{2}, \frac{i\sqrt{2}}{2}\}$.

3) Дано уравнение $2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9 = 0$ и один из его корней $x_1 = 1/2$.
Так как $x_1 = 1/2$ является корнем, то многочлен делится на $(x - 1/2)$. Выполним деление:
$(2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9) : (x - 1/2) = 2x^4 - 12x^2 + 18$.
Получаем уравнение:
$(x - 1/2)(2x^4 - 12x^2 + 18) = 0$.
Решим уравнение $2x^4 - 12x^2 + 18 = 0$. Разделим обе части на 2:
$x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 6y + 9 = 0$.
Это полный квадрат:
$(y - 3)^2 = 0$.
Отсюда $y = 3$. Это корень кратности 2.
Вернемся к замене:
$x^2 = 3$.
Корни этого уравнения $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Так как $y=3$ был корнем кратности 2 для уравнения относительно $y$, то и корни $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$ будут иметь кратность 2.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $1/2$, $\sqrt{3}$ (кратность 2), $-\sqrt{3}$ (кратность 2).
Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_{2,3} = \sqrt{3}$, $x_{4,5} = -\sqrt{3}$.

4) Дано уравнение $3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4 = 0$ и один из его корней $x_1 = -1/3$.
Так как $x_1 = -1/3$ является корнем, то многочлен делится на $(x + 1/3)$. Выполним деление:
$(3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4) : (x + 1/3) = 3x^4 - 15x^2 + 12$.
Получаем уравнение:
$(x + 1/3)(3x^4 - 15x^2 + 12) = 0$.
Решим уравнение $3x^4 - 15x^2 + 12 = 0$. Разделим обе части на 3:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 5y + 4 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $-1/3, -1, 1, -2, 2$.
Ответ: $x \in \{-2, -1, -1/3, 1, 2\}$.