Номер 313, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

313. При делении многочлена на $x + 2$ остаток равен 6, при делении его на $x - 3$ остаток равен 26, а при делении его на $x + 4$ остаток равен 12. Найти остаток при делении этого многочлена на $(x + 2)(x - 3)(x + 4)$.

Пусть $P(x)$ — данный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен $P(c)$.

Из условий задачи следует:

• При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 6, значит $P(-2) = 6$.
• При делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 26, значит $P(3) = 26$.
• При делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 12, значит $P(-4) = 12$.

Мы ищем остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x) = (x+2)(x-3)(x+4)$. Так как степень делителя $Q(x)$ равна 3, то остаток $R(x)$ будет многочленом, степень которого не выше 2. Запишем остаток в общем виде: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

По определению деления с остатком, существует такой многочлен $S(x)$ (частное), что:

$P(x) = (x+2)(x-3)(x+4) \cdot S(x) + ax^2 + bx + c$

Теперь используем известные нам значения $P(x)$ в точках -2, 3 и -4, чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

При $x = -2$:

$P(-2) = (-2+2)(-2-3)(-2+4) \cdot S(-2) + a(-2)^2 + b(-2) + c$

$6 = 0 \cdot S(-2) + 4a - 2b + c$

$4a - 2b + c = 6$ (1)

При $x = 3$:

$P(3) = (3+2)(3-3)(3+4) \cdot S(3) + a(3)^2 + b(3) + c$

$26 = 0 \cdot S(3) + 9a + 3b + c$

$9a + 3b + c = 26$ (2)

При $x = -4$:

$P(-4) = (-4+2)(-4-3)(-4+4) \cdot S(-4) + a(-4)^2 + b(-4) + c$

$12 = 0 \cdot S(-4) + 16a - 4b + c$

$16a - 4b + c = 12$ (3)

В результате мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}4a - 2b + c = 6 \\9a + 3b + c = 26 \\16a - 4b + c = 12\end{cases}$

Решим эту систему. Для начала вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от переменной $c$.

Вычитаем (1) из (2):

$(9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 26 - 6$

$5a + 5b = 20$, разделим на 5: $a + b = 4$ (4)

Вычитаем (1) из (3):

$(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 12 - 6$

$12a - 2b = 6$, разделим на 2: $6a - b = 3$ (5)

Теперь у нас есть более простая система из двух уравнений:

$\begin{cases}a + b = 4 \\6a - b = 3\end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a + b) + (6a - b) = 4 + 3$

$7a = 7 \implies a = 1$

Подставим $a = 1$ в уравнение (4):

$1 + b = 4 \implies b = 3$

Наконец, подставим $a = 1$ и $b = 3$ в исходное уравнение (1):

$4(1) - 2(3) + c = 6$

$4 - 6 + c = 6$

$-2 + c = 6 \implies c = 8$

Таким образом, мы нашли коэффициенты остатка: $a=1, b=3, c=8$.

Искомый остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x^2 + 3x + 8$.

Ответ: $x^2+3x+8$