Номер 306, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

306. Найти все корни многочлена $6x^3 + bx^2 - 5x - 2$, если одним из них является число $-\frac{1}{2}$.

Пусть $P(x) = 6x^3 + bx^2 - 5x - 2$.

Поскольку по условию задачи число $x_1 = -\frac{1}{2}$ является корнем многочлена, то при подстановке этого значения в многочлен результат должен быть равен нулю, то есть $P(-\frac{1}{2}) = 0$.

Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение многочлена, чтобы найти неизвестный коэффициент $b$:
$6 \cdot (-\frac{1}{2})^3 + b \cdot (-\frac{1}{2})^2 - 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 = 0$
$6 \cdot (-\frac{1}{8}) + b \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 2 = 0$
$-\frac{6}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 2 = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю 4:
$-\frac{3}{4} + \frac{b}{4} + \frac{10}{4} - \frac{8}{4} = 0$
$\frac{-3 + b + 10 - 8}{4} = 0$
$\frac{b - 1}{4} = 0$

Отсюда находим $b$:
$b - 1 = 0$
$b = 1$

Теперь, когда мы знаем значение коэффициента $b$, многочлен имеет вид:
$P(x) = 6x^3 + x^2 - 5x - 2$

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x - (-\frac{1}{2}))$ или $(x + \frac{1}{2})$. Если многочлен делится на $(x + \frac{1}{2})$, то он делится и на $(2x + 1)$. Выполним деление многочлена $6x^3 + x^2 - 5x - 2$ на $(2x + 1)$. Это можно сделать, например, делением столбиком (уголком). В результате деления получаем:
$(6x^3 + x^2 - 5x - 2) \div (2x + 1) = 3x^2 - x - 2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде произведения:
$6x^3 + x^2 - 5x - 2 = (2x + 1)(3x^2 - x - 2)$

Оставшиеся два корня многочлена являются корнями квадратного уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$

Вычисляем два оставшихся корня:
$x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_3 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли все три корня исходного многочлена: $-\frac{1}{2}$, $1$ и $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{2}{3}$.