Номер 307, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

307. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ многочлен $P(x)=x^5+ax^3+bx^2+c$ делится на $x+2$, а при делении на $x^2-1$ даёт остаток $-3x+3$?

По условию, многочлен $P(x) = x^5 + ax^3 + bx^2 + c$ делится на $x+2$. Согласно теореме Безу (следствию из теоремы об остатке), если многочлен делится на двучлен $x-k$, то $P(k)=0$. В нашем случае $k = -2$, следовательно, $P(-2)=0$.

Подставим $x = -2$ в выражение для $P(x)$ и приравняем к нулю: $P(-2) = (-2)^5 + a(-2)^3 + b(-2)^2 + c = 0$
$-32 + a(-8) + b(4) + c = 0$
$-32 - 8a + 4b + c = 0$
$8a - 4b - c = -32$ (1)

Второе условие гласит, что при делении $P(x)$ на $x^2-1$ остаток равен $-3x+3$. Это можно записать в виде равенства:
$P(x) = (x^2-1) \cdot Q(x) + (-3x+3)$, где $Q(x)$ – это частное от деления.

Это равенство верно для любого значения $x$. Найдём корни многочлена $x^2-1$:
$x^2-1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

Подставим эти значения в равенство $P(x) = (x^2-1) \cdot Q(x) -3x+3$.

Для $x=1$:
$P(1) = (1^2-1) \cdot Q(1) - 3(1) + 3 = 0 \cdot Q(1) - 3 + 3 = 0$.
С другой стороны, $P(1) = 1^5 + a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c$.
Приравнивая эти два выражения для $P(1)$, получаем второе уравнение:
$1 + a + b + c = 0$
$a + b + c = -1$ (2)

Для $x=-1$:
$P(-1) = ((-1)^2-1) \cdot Q(-1) - 3(-1) + 3 = (1-1) \cdot Q(-1) + 3 + 3 = 6$.
С другой стороны, $P(-1) = (-1)^5 + a \cdot (-1)^3 + b \cdot (-1)^2 + c$.
Приравнивая эти два выражения для $P(-1)$, получаем третье уравнение:
$-1 - a + b + c = 6$
$-a + b + c = 7$ (3)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$ \begin{cases} 8a - 4b - c = -32 & (1) \\ a + b + c = -1 & (2) \\ -a + b + c = 7 & (3) \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (2) и (3):
$(a+b+c) + (-a+b+c) = -1 + 7$
$2b + 2c = 6$
$b+c = 3$ (4)

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
$(a+b+c) - (-a+b+c) = -1 - 7$
$2a = -8$
$a = -4$

Подставим значение $a=-4$ в уравнение (1):
$8(-4) - 4b - c = -32$
$-32 - 4b - c = -32$
$-4b - c = 0 \implies c = -4b$

Наконец, подставим $c=-4b$ в уравнение (4):
$b + (-4b) = 3$
$-3b = 3$
$b = -1$

Зная $b$, находим $c$:
$c = -4b = -4(-1) = 4$.

Таким образом, мы определили все неизвестные коэффициенты.

Ответ: $a=-4, b=-1, c=4$.