Номер 309, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

309. Разложить многочлен $P(x)$ на множители, если $a$ — корень этого многочлена:

1) $P(x) = x^3 + 5x^2 + 11x + 7$, $a = -1$;

2) $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 4x + 3$, $a = -3$;

3) $P(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$, $a = -5$;

4) $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$, $a = 2$.

1)

Дан многочлен $P(x) = x^3 + 5x^2 + 11x + 7$ и его корень $a = -1$.

Согласно теореме Безу, если $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ делится нацело на двучлен $(x - a)$. В нашем случае, $P(x)$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $(x + 1)$ столбиком или используя схему Горнера. Коэффициенты многочлена: 1, 5, 11, 7. Корень: -1.

 | 1 5 11 7-1 | | -1 -4 -7 ----------------- 1 4 7 0

В результате деления получаем многочлен $x^2 + 4x + 7$ и остаток 0. Таким образом, мы можем представить $P(x)$ в виде произведения:

$P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 7$. Для этого найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 7$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Следовательно, итоговое разложение многочлена на множители:

Ответ: $P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)$

2)

Дан многочлен $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 4x + 3$ и его корень $a = -3$.

Так как $a = -3$ является корнем, то $P(x)$ делится нацело на $(x - (-3))$, то есть на $(x + 3)$.

Выполним деление $P(x)$ на $(x + 3)$ по схеме Горнера. Коэффициенты многочлена: 3, 10, 4, 3. Корень: -3.

 | 3 10 4 3-3 | | -9 -3 -3 ----------------- 3 1 1 0

В результате деления получаем многочлен $3x^2 + x + 1$ и остаток 0. Таким образом:

$P(x) = (x + 3)(3x^2 + x + 1)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $3x^2 + x + 1$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$

Так как $D < 0$, этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители.

Ответ: $P(x) = (x + 3)(3x^2 + x + 1)$

3)

Дан многочлен $P(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$ и его корень $a = -5$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится нацело на $(x - (-5))$, то есть на $(x + 5)$.

Разделим $P(x)$ на $(x + 5)$ по схеме Горнера. Коэффициенты: 1, 4, -7, -10. Корень: -5.

 | 1 4 -7 -10-5 | | -5 5 10 ------------------- 1 -1 -2 0

В результате деления получаем многочлен $x^2 - x - 2$. Таким образом:

$P(x) = (x + 5)(x^2 - x - 2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1)$.

Итоговое разложение многочлена:

Ответ: $P(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 2)$

4)

Дан многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$ и его корень $a = 2$.

Так как $a = 2$ является корнем, $P(x)$ делится на $(x - 2)$. В данном случае можно разложить многочлен на множители методом группировки:

$P(x) = (x^3 - 2x^2) + (-5x + 10)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(x - 2) - 5(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$:

$P(x) = (x - 2)(x^2 - 5)$

Множитель $(x^2 - 5)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

Итоговое разложение многочлена:

Ответ: $P(x) = (x - 2)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$