Номер 311, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

311. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x+4$ равен 5, а остаток от деления его на $x-5$ равен 14. Найти остаток от деления $P(x)$ на $(x+4)(x-5)$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу (следствием из теоремы о делении многочленов с остатком). Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$.

Из условия задачи мы имеем два факта:

1. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x+4$ равен 5. Двучлен $x+4$ можно представить в виде $x-(-4)$. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(-4) = 5$.
2. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-5$ равен 14. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(5) = 14$.

Нам нужно найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на произведение $(x+4)(x-5)$. Делитель $(x+4)(x-5) = x^2 - x - 20$ является многочленом второй степени. При делении многочлена на многочлен второй степени остаток будет многочленом степени не выше первой, то есть его можно представить в виде $R(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ – некоторые коэффициенты, которые нам нужно найти.

Общее уравнение деления с остатком можно записать так: $P(x) = Q(x) \cdot (x+4)(x-5) + R(x)$ где $Q(x)$ – это частное (некоторый многочлен), а $R(x) = ax+b$ – искомый остаток. Подставим вид остатка в уравнение: $P(x) = Q(x) \cdot (x+4)(x-5) + ax+b$

Теперь воспользуемся известными нам значениями $P(-4)$ и $P(5)$, подставив их в это уравнение:

1. Подставим $x = -4$:
$P(-4) = Q(-4) \cdot (-4+4)(-4-5) + a(-4)+b$
$P(-4) = Q(-4) \cdot (0) \cdot (-9) - 4a + b$
$P(-4) = -4a + b$
Так как мы знаем, что $P(-4) = 5$, получаем первое уравнение:
$-4a + b = 5$

2. Подставим $x = 5$:
$P(5) = Q(5) \cdot (5+4)(5-5) + a(5)+b$
$P(5) = Q(5) \cdot (9) \cdot (0) + 5a + b$
$P(5) = 5a + b$
Так как мы знаем, что $P(5) = 14$, получаем второе уравнение:
$5a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $$ \begin{cases} -4a + b = 5 \\ 5a + b = 14 \end{cases} $$ Для её решения вычтем первое уравнение из второго: $(5a + b) - (-4a + b) = 14 - 5$
$5a + b + 4a - b = 9$
$9a = 9$
$a = 1$

Подставим найденное значение $a=1$ в любое из уравнений, например, во второе: $5(1) + b = 14$
$5 + b = 14$
$b = 14 - 5$
$b = 9$

Таким образом, мы нашли коэффициенты остатка: $a=1$ и $b=9$. Искомый остаток $R(x) = ax+b$ равен $1 \cdot x + 9 = x+9$.

Ответ: $x+9$