Номер 319, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти рациональные корни уравнения (319—320).

319.

1) $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) - 5;$

2) $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6.$

1) Исходное уравнение: $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) - 5$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 1 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot 1 + x^2 = 2x^4 + 2x + x^3 + 1 + x^2 = 2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1$.

Правая часть: $2x(x^3 + 3) - 5 = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 3 - 5 = 2x^4 + 6x - 5$.

Приравняем левую и правую части:

$2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = 2x^4 + 6x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(2x^4 - 2x^4) + x^3 + x^2 + (2x - 6x) + (1 + 5) = 0$

$x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0$.

Теперь найдем рациональные корни полученного кубического уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена (6), а $q$ — делителем старшего коэффициента (1).

Возможные значения для $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Возможные значения для $q$: $\pm 1$.

Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения, подставляя их в уравнение $P(x) = x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0$:

При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 4(1) + 6 = 1 + 1 - 4 + 6 = 4 \neq 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) + 6 = -1 + 1 + 4 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = 2$: $P(2) = 2^3 + 2^2 - 4(2) + 6 = 8 + 4 - 8 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) + 6 = -8 + 4 + 8 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = -3$: $P(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 4(-3) + 6 = -27 + 9 + 12 + 6 = 0$.

Таким образом, $x = -3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 + x^2 - 4x + 6$ на $(x + 3)$:

$(x^3 + x^2 - 4x + 6) : (x + 3) = x^2 - 2x + 2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(x + 3)(x^2 - 2x + 2) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней, а значит, и рациональных тоже.

Следовательно, единственным рациональным корнем исходного уравнения является $x = -3$.

Ответ: -3.

2) Исходное уравнение: $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6$.

Раскроем скобки и упростим обе части уравнения.

Левая часть: $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (4x^4 - 4x^2 + 1) + x(4x^2 - 4x + 1) = 4x^4 - 4x^2 + 1 + 4x^3 - 4x^2 + x = 4x^4 + 4x^3 - 8x^2 + x + 1$.

Правая часть: $(x + 1)^2 + 16x^2 - 6 = (x^2 + 2x + 1) + 16x^2 - 6 = 17x^2 + 2x - 5$.

Приравняем левую и правую части:

$4x^4 + 4x^3 - 8x^2 + x + 1 = 17x^2 + 2x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 17x^2 + x - 2x + 1 + 5 = 0$

$4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 0$.

Для нахождения рациональных корней этого уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (6), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4).

Делители $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Делители $q$: $1, 2, 4$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$.

Проверим некоторые из них, подставляя в $P(x) = 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 0$:

При $x = 2$: $P(2) = 4(2)^4 + 4(2)^3 - 25(2)^2 - 2 + 6 = 4(16) + 4(8) - 25(4) - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0$. Корень $x=2$.

При $x = -3$: $P(-3) = 4(-3)^4 + 4(-3)^3 - 25(-3)^2 - (-3) + 6 = 4(81) + 4(-27) - 25(9) + 3 + 6 = 324 - 108 - 225 + 3 + 6 = 0$. Корень $x=-3$.

При $x = \frac{1}{2}$: $P(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 25(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 6 = 4(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 25(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{25}{4} - \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{1+2-25-2+24}{4} = 0$. Корень $x=\frac{1}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^4 + 4(-\frac{1}{2})^3 - 25(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 6 = 4(\frac{1}{16}) - 4(\frac{1}{8}) - 25(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{25}{4} + \frac{1}{2} + 6 = \frac{1-25}{4} + 6 = -6+6=0$. Корень $x=-\frac{1}{2}$.

Мы нашли четыре рациональных корня: $2, -3, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$. Поскольку исходное уравнение является уравнением четвертой степени, оно не может иметь более четырех корней. Следовательно, мы нашли все рациональные корни.

Ответ: -3; -1/2; 1/2; 2.