Номер 322, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

322. Доказать теорему Виета для кубического уравнения: «Если $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, то $x_1 + x_2 + x_3 = -a$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$, $x_1x_2x_3 = -c$».

Пусть дано кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$. Согласно условию, $x_1, x_2, x_3$ являются корнями этого уравнения. По следствию из основной теоремы алгебры, если $x_k$ является корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ можно представить в виде произведения линейных множителей, соответствующих его корням. Поскольку кубический многочлен имеет три корня (в общем случае, комплексных и с учетом кратности), мы можем записать следующее тождество, верное для любого значения $x$: $x^3 + ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества. Для этого сначала перемножим два последних множителя, а затем умножим результат на первый множитель: $(x - x_1) \cdot ((x - x_2)(x - x_3)) = (x - x_1)(x^2 - x_2x - x_3x + x_2x_3)$ $= (x - x_1)(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$ $= x(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) - x_1(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$ $= x^3 - (x_2 + x_3)x^2 + x_2x_3x - x_1x^2 + x_1(x_2 + x_3)x - x_1x_2x_3$. Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$: $= x^3 - x_1x^2 - x_2x^2 - x_3x^2 + x_1x_2x + x_1x_3x + x_2x_3x - x_1x_2x_3$ $= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.

Таким образом, мы получили тождество, связывающее два представления одного и того же многочлена: $x^3 + ax^2 + bx + c \equiv x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Приравняем соответствующие коэффициенты:

• Коэффициенты при $x^2$: $a = -(x_1 + x_2 + x_3)$, откуда следует, что $x_1 + x_2 + x_3 = -a$.
• Коэффициенты при $x$: $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$.
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $c = -x_1x_2x_3$, откуда следует, что $x_1x_2x_3 = -c$.

Все три формулы, составляющие теорему Виета для кубического уравнения, доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Для кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения (формулы Виета): $x_1 + x_2 + x_3 = -a$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$ и $x_1x_2x_3 = -c$.