Номер 329, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

329. Решить уравнение $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4$.

Для решения уравнения $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4$ сначала разложим на множители квадратные трёхчлены в левой части.

1. Трёхчлен $x^2 - 3x + 2$. Найдём его корни, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни равны 1 и 2. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

2. Трёхчлен $x^2 - 7x + 12$. Найдём его корни, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни равны 3 и 4. Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Подставим разложения в исходное уравнение:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 4$.

Теперь сгруппируем множители таким образом, чтобы при их перемножении получить одинаковые выражения. Для этого перемножим первый множитель с четвёртым, а второй с третьим:

$[(x - 1)(x - 4)] \cdot [(x - 2)(x - 3)] = 4$.

Выполним умножение в каждой из групп:

$(x^2 - 4x - x + 4) \cdot (x^2 - 3x - 2x + 6) = 4$.

$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 4$.

Заметим, что оба множителя содержат одинаковое выражение $x^2 - 5x$. Это позволяет сделать замену переменной. Чтобы сделать решение более изящным, введем замену $t = x^2 - 5x + 5$, что является средним арифметическим выражений $x^2 - 5x + 4$ и $x^2 - 5x + 6$.

Тогда $x^2 - 5x + 4 = t - 1$ и $x^2 - 5x + 6 = t + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(t - 1)(t + 1) = 4$.

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем:

$t^2 - 1 = 4$.

$t^2 = 5$.

Отсюда $t = \sqrt{5}$ или $t = -\sqrt{5}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, рассмотрев оба случая.

При $t = \sqrt{5}$ получаем уравнение:

$x^2 - 5x + 5 = \sqrt{5}$

$x^2 - 5x + (5 - \sqrt{5}) = 0$.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения: $D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - \sqrt{5}) = 25 - 20 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5}$.

Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.

При $t = -\sqrt{5}$ получаем уравнение:

$x^2 - 5x + 5 = -\sqrt{5}$

$x^2 - 5x + (5 + \sqrt{5}) = 0$.

Найдём дискриминант этого уравнения: $D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 25 - 20 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5}$.

Чтобы определить знак $D_2$, сравним числа $5$ и $4\sqrt{5}$. Возведём оба положительных числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$. Так как $25 < 80$, то $5 < 4\sqrt{5}$, и, следовательно, $D_2 = 5 - 4\sqrt{5} < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только два корня, найденные в первом случае.

Ответ: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.