Номер 330, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

330. С помощью следствий из теоремы Безу выполнить деление двучленов $x^k \pm a^n$ на $x \pm a$:

1) $(243x^5 - 32) : (3x - 2);$

2) $(a^4x^4 - b^4) : (ax - b);$

3) $(x^{30} + 1) : (x^5 + 1);$

4) $(\frac{3}{8}a^6 + 8b^{12}) : (1,5a^2 + 2b^4).$

1) Чтобы выполнить деление $(243x^5 - 32) : (3x - 2)$, представим делимое в виде разности пятых степеней. Поскольку $243 = 3^5$ и $32 = 2^5$, имеем $243x^5 - 32 = (3x)^5 - 2^5$.Сделаем замену: пусть $A = 3x$ и $B = 2$. Тогда задача сводится к делению $(A^5 - B^5)$ на $(A - B)$.Воспользуемся формулой разности степеней, которая является следствием из теоремы Безу:$A^n - B^n = (A - B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + A^{n-3}B^2 + \dots + B^{n-1})$.При $n=5$:$A^5 - B^5 = (A - B)(A^4 + A^3B + A^2B^2 + AB^3 + B^4)$.Следовательно, частное от деления равно многочлену $A^4 + A^3B + A^2B^2 + AB^3 + B^4$.Выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $3x$ и $B$ на $2$:$(3x)^4 + (3x)^3 \cdot 2 + (3x)^2 \cdot 2^2 + (3x) \cdot 2^3 + 2^4$$= 81x^4 + (27x^3) \cdot 2 + (9x^2) \cdot 4 + 3x \cdot 8 + 16$$= 81x^4 + 54x^3 + 36x^2 + 24x + 16$.

Ответ: $81x^4 + 54x^3 + 36x^2 + 24x + 16$.

2) Для выполнения деления $(a^4x^4 - b^4) : (ax - b)$ представим делимое как разность четвертых степеней: $a^4x^4 - b^4 = (ax)^4 - b^4$.Сделаем замену: пусть $A = ax$ и $B = b$. Тогда выражение принимает вид $(A^4 - B^4) : (A - B)$.Используем формулу разности степеней для $n=4$:$A^4 - B^4 = (A - B)(A^3 + A^2B + AB^2 + B^3)$.Частное от деления равно $A^3 + A^2B + AB^2 + B^3$.Выполним обратную подстановку, заменив $A$ на $ax$ и $B$ на $b$:$(ax)^3 + (ax)^2 \cdot b + (ax) \cdot b^2 + b^3 = a^3x^3 + a^2x^2b + ab^2x + b^3$.

Ответ: $a^3x^3 + a^2bx^2 + ab^2x + b^3$.

3) Чтобы выполнить деление $(x^{30} + 1) : (x^5 + 1)$, сделаем замену переменной: пусть $y = x^5$.Тогда делимое равно $x^{30} + 1 = (x^5)^6 + 1 = y^6 + 1$.Делитель равен $x^5 + 1 = y + 1$.Задача сводится к делению многочлена $P(y) = y^6 + 1$ на $y + 1$.Согласно следствию из теоремы Безу, остаток от деления многочлена $P(y)$ на двучлен $(y - c)$ равен $P(c)$. В нашем случае делитель $y+1 = y - (-1)$, то есть $c = -1$.Найдем остаток: $P(-1) = (-1)^6 + 1 = 1 + 1 = 2$.Поскольку остаток не равен нулю, деление нацело невозможно. Чтобы найти неполное частное, представим делимое в виде $y^6 + 1 = (y^6 - 1) + 2$.Теперь деление можно записать как $\frac{y^6 + 1}{y + 1} = \frac{(y^6 - 1) + 2}{y + 1} = \frac{y^6 - 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1}$.Выражение $y^n - a^n$ при четном $n$ делится на $y+a$. Для $n=6$ и $a=1$ частное от деления $(y^6 - 1)$ на $(y + 1)$ равно $y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$.Таким образом, неполное частное исходного выражения равно $y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$, а остаток равен $2$.Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^5$:Неполное частное: $(x^5)^5 - (x^5)^4 + (x^5)^3 - (x^5)^2 + x^5 - 1 = x^{25} - x^{20} + x^{15} - x^{10} + x^5 - 1$.Остаток: $2$.

Ответ: неполное частное $x^{25} - x^{20} + x^{15} - x^{10} + x^5 - 1$, остаток $2$.

4) Выполним деление $(3\frac{3}{8}a^6 + 8b^{12}) : (1,5a^2 + 2b^4)$.Сначала преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.Выражение для деления принимает вид: $(\frac{27}{8}a^6 + 8b^{12}) : (\frac{3}{2}a^2 + 2b^4)$.Представим делимое в виде суммы кубов.$\frac{27}{8}a^6 = (\frac{3}{2}a^2)^3$$8b^{12} = (2b^4)^3$Таким образом, делимое равно $(\frac{3}{2}a^2)^3 + (2b^4)^3$.Сделаем замену: $A = \frac{3}{2}a^2$ и $B = 2b^4$.Делитель тогда равен $A+B$.Выражение принимает вид $(A^3 + B^3) : (A + B)$.Показатель степени $n=3$ — нечетное число, поэтому можно использовать формулу суммы кубов:$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.Частное от деления равно $A^2 - AB + B^2$.Подставим обратно значения $A$ и $B$:$(\frac{3}{2}a^2)^2 - (\frac{3}{2}a^2)(2b^4) + (2b^4)^2 = \frac{9}{4}a^4 - 3a^2b^4 + 4b^8$.

Ответ: $\frac{9}{4}a^4 - 3a^2b^4 + 4b^8$.