Номер 332, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

332. Каким должно быть целое число $n$, чтобы числа вида $7^n - 1$ делились на 8 и 6?

Для того чтобы число вида $7^n - 1$ делилось на 8 и 6, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(8, 6):
$8 = 2^3$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(8, 6) = $2^3 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких целых $n$, при которых $7^n - 1$ делится на 24. Это эквивалентно выполнению двух условий одновременно:
1. $7^n - 1$ делится на 8.
2. $7^n - 1$ делится на 3.

Прежде всего, отметим, что для того, чтобы выражение $7^n - 1$ было целым числом и к нему было применимо понятие делимости, $n$ должно быть неотрицательным целым числом. Если $n$ — отрицательное целое число, например $n = -k$ где $k > 0$, то $7^n - 1 = 7^{-k} - 1 = \frac{1}{7^k} - 1 = \frac{1-7^k}{7^k}$. Это выражение не является целым числом при $k>0$. При $n=0$, $7^0-1=0$, что является целым числом. Следовательно, будем рассматривать $n \ge 0$.

Рассмотрим условие, что $7^n - 1$ делится на 8. В терминах сравнений по модулю это можно записать как:
$7^n - 1 \equiv 0 \pmod{8}$
$7^n \equiv 1 \pmod{8}$

Заметим, что $7 \equiv -1 \pmod{8}$. Тогда:
$7^n \equiv (-1)^n \pmod{8}$

Чтобы сравнение $7^n \equiv 1 \pmod{8}$ выполнялось, необходимо, чтобы $(-1)^n = 1$. Это возможно только в том случае, когда показатель степени $n$ является четным числом.
Таким образом, для делимости на 8, $n$ должно быть четным неотрицательным целым числом.

Рассмотрим условие, что $7^n - 1$ делится на 6. Это означает, что $7^n-1$ должно делиться на 2 и на 3.

Делимость на 2:
Число 7 является нечетным. Любая неотрицательная степень нечетного числа ($7^0=1$, $7^1=7$ и т.д.) является нечетным числом. Значит, $7^n$ — нечетное число при любом $n \ge 0$. Разность нечетного числа и единицы ($7^n - 1$) всегда является четным числом, то есть делится на 2. Это условие выполняется для любого неотрицательного целого $n$.

Делимость на 3:
Рассмотрим делимость на 3. Запишем это в виде сравнения:
$7^n - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
$7^n \equiv 1 \pmod{3}$

Так как $7 = 2 \cdot 3 + 1$, то $7 \equiv 1 \pmod{3}$. Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем:
$7^n \equiv 1^n \pmod{3}$
$7^n \equiv 1 \pmod{3}$

Это сравнение верно для любого неотрицательного целого числа $n$. Следовательно, $7^n - 1$ всегда делится на 3 при $n \ge 0$.
Таким образом, для делимости на 6, $n$ может быть любым неотрицательным целым числом.

Итак, мы установили, что для делимости на 8, число $n$ должно быть четным неотрицательным целым, а для делимости на 6, $n$ может быть любым неотрицательным целым числом.

Чтобы число $7^n - 1$ делилось и на 8, и на 6 одновременно, необходимо, чтобы выполнялись оба условия. Пересечением этих двух условий является требование, чтобы $n$ было четным неотрицательным целым числом.

Это можно записать в виде формулы: $n = 2k$, где $k$ — любое неотрицательное целое число ($k = 0, 1, 2, 3, \ldots$).

Проверка: если $n$ четное, то $n=2k$ для некоторого $k \ge 0$.
$7^n - 1 = 7^{2k} - 1 = (7^2)^k - 1 = 49^k - 1$.
Используя формулу разности степеней $a^k-b^k = (a-b)(a^{k-1} + \dots + b^{k-1})$, получаем:
$49^k - 1 = (49-1)(49^{k-1} + 49^{k-2} + \dots + 1) = 48 \cdot (\text{сумма})$.
Так как 48 делится на 24 (поскольку $48 = 2 \cdot 24$), то и выражение $7^n - 1$ делится на 24 для любого четного $n>0$. При $n=0$ (что является четным числом), имеем $7^0-1 = 0$, что также делится на 24. Заключение верно.

Ответ: $n$ должно быть любым четным неотрицательным целым числом, то есть $n=2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).