Номер 336, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

336. Выразить через p и q:

1) разность квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$;

2) сумму и разность кубов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант уравнения был неотрицательным: $D = p^2 - 4q \ge 0$.

1) разность квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$

Необходимо выразить $x_1^2 - x_2^2$ через $p$ и $q$. Используем формулу разности квадратов: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Из теоремы Виета известно, что $x_1 + x_2 = -p$.

Найдем разность корней $x_1 - x_2$. Для этого сначала найдем ее квадрат: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим известные значения: $(x_1 - x_2)^2 = (-p)^2 - 4q = p^2 - 4q$.

Отсюда $x_1 - x_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}$. Знак зависит от нумерации корней.

Теперь подставим все в исходное выражение: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = (-p)(\pm \sqrt{p^2 - 4q}) = \mp p\sqrt{p^2 - 4q}$.

Поскольку разность может быть вычислена в любом порядке (т.е. $x_1^2 - x_2^2$ или $x_2^2 - x_1^2$), ответ можно записать со знаком $\pm$.

Ответ: $\pm p\sqrt{p^2 - 4q}$.

2) сумму и разность кубов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$

Сначала найдем сумму кубов корней, $x_1^3 + x_2^3$. Воспользуемся тождеством $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим значения из теоремы Виета: $x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3(q)(-p) = -p^3 + 3pq = p(3q - p^2)$.

Далее найдем разность кубов корней, $x_1^3 - x_2^3$. Воспользуемся формулой $x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$.

Из пункта 1) известно, что $x_1 - x_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}$.

Выразим второй множитель через $p$ и $q$: $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$.

Подставим значения из теоремы Виета: $(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 = (-p)^2 - q = p^2 - q$.

Объединим результаты для разности кубов: $x_1^3 - x_2^3 = (\pm \sqrt{p^2 - 4q})(p^2 - q) = \pm(p^2 - q)\sqrt{p^2 - 4q}$.

Ответ: сумма кубов корней равна $p(3q - p^2)$, а разность кубов корней равна $\pm (p^2 - q)\sqrt{p^2 - 4q}$.