Номер 343, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

343. Разложить на множители:

1) $(y - z)(y + z)^2 + (z - x)(z + x)^2 + (x - y)(x + y)^2;$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2 y^2 + y^4);$

3) $x^8 + x^4 y^4 + y^8.$

1) $(y-z)(y+z)^2 + (z-x)(z+x)^2 + (x-y)(x+y)^2$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки для каждого слагаемого. Удобно использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Первое слагаемое: $(y-z)(y+z)^2 = (y-z)(y+z)(y+z) = (y^2-z^2)(y+z) = y^3 + y^2z - yz^2 - z^3$.

Второе слагаемое получается из первого циклической заменой переменных $y \rightarrow z, z \rightarrow x$:
$(z-x)(z+x)^2 = z^3 + z^2x - zx^2 - x^3$.

Третье слагаемое получается из второго циклической заменой переменных $z \rightarrow x, x \rightarrow y$:
$(x-y)(x+y)^2 = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(y^3 + y^2z - yz^2 - z^3) + (z^3 + z^2x - zx^2 - x^3) + (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3)$

После приведения подобных членов, все кубические степени взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 + x^2y - xy^2$

Сгруппируем члены относительно переменной $x$:

$(y-z)x^2 + (z^2-y^2)x + (y^2z - yz^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(y-z)x^2 - (y^2-z^2)x + yz(y-z)$

Применим формулу разности квадратов $y^2-z^2 = (y-z)(y+z)$ ко второму слагаемому:

$(y-z)x^2 - (y-z)(y+z)x + yz(y-z)$

Вынесем общий множитель $(y-z)$ за скобки:

$(y-z)[x^2 - (y+z)x + yz]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках. Это квадратный трехчлен относительно $x$. Раскроем скобки внутри и сгруппируем:

$x^2 - yx - zx + yz = x(x-y) - z(x-y) = (x-y)(x-z)$

Таким образом, окончательное разложение на множители:

$(y-z)(x-y)(x-z)$

Ответ: $(y-z)(x-y)(x-z)$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Разложим на множители слагаемое $x^6 - y^6$. Это можно сделать, представив его как разность кубов: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) + 1 \cdot (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Видим, что $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)((x^2 - y^2) + 1) = (x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 - y^2 + 1)$

Теперь разложим на множители первый сомножитель $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$. Для этого дополним его до полного квадрата, прибавив и отняв $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

Это разность квадратов $a^2-b^2=(