Номер 343, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

343. Разложить на множители:

1) $(y - z)(y + z)^2 + (z - x)(z + x)^2 + (x - y)(x + y)^2;$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2 y^2 + y^4);$

3) $x^8 + x^4 y^4 + y^8.$

Для разложения на множители данных выражений воспользуемся методами группировки, использования формул сокращенного умножения и искусственным приемом добавления и вычитания слагаемых.

1) $(y - z)(y + z)^2 + (z - x)(z + x)^2 + (x - y)(x + y)^2$

Раскроем квадраты и сгруппируем слагаемые. Однако удобнее заметить циклическую симметрию. Раскроем скобки частично:

$(y-z)(y^2 + 2yz + z^2) + (z-x)(z^2 + 2zx + x^2) + (x-y)(x^2 + 2xy + y^2)$

После полного раскрытия и приведения подобных слагаемых (где сократятся кубы $y^3, z^3, x^3$), выражение примет вид:

$y^2z + yz^2 - y^2x - x^2y + z^2x + x^2z - 2yz^2 \dots \Rightarrow -(x-y)(y-z)(z-x)$

Для проверки можно подставить $x=y$, выражение обратится в ноль, значит $(x-y)$ — множитель. Аналогично для других пар.

Ответ: $-(x-y)(y-z)(z-x)$

2) $x^6 - y^6 + (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Разложим разность шестых степеней как разность квадратов, а затем разность кубов:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь перепишем всё выражение, вынося общий многочлен за скобки:

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) + 1 \cdot (x^4 + x^2y^2 + y^4)$

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^2 - y^2 + 1)$

Первую скобку можно разложить дальше (см. пункт 3): $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$.

Ответ: $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^2 - y^2 + 1)$

3) $x^8 + x^4y^4 + y^8$

Применим метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^4y^4$:

$(x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - x^4y^4$

Теперь это разность квадратов:

$(x^4 + y^4)^2 - (x^2y^2)^2$

Разложим по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^4 + y^4 - x^2y^2)(x^4 + y^4 + x^2y^2)$

Вторую скобку разложим аналогичным методом (добавив и вычтя $x^2y^2$):

$(x^4 + y^4 - x^2y^2)(x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$

Ответ: $(x^4 - x^2y^2 + y^4)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$