Номер 345, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

345. Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 + px + q = 0$. Доказать, что $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$.

Поскольку $x_1$, $x_2$ и $x_3$ являются корнями уравнения $x^3 + px + q = 0$, то каждый из этих корней удовлетворяет данному уравнению. То есть, выполняются следующие равенства:

$x_1^3 + px_1 + q = 0$
$x_2^3 + px_2 + q = 0$
$x_3^3 + px_3 + q = 0$

Из этих равенств мы можем выразить кубы корней:

$x_1^3 = -px_1 - q$
$x_2^3 = -px_2 - q$
$x_3^3 = -px_3 - q$

Сложив эти три уравнения, получим выражение для суммы кубов корней:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (-px_1 - q) + (-px_2 - q) + (-px_3 - q)$
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -p(x_1 + x_2 + x_3) - 3q$

Для дальнейшего преобразования воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. В данном уравнении $x^3 + px + q = 0$ коэффициент при $x^2$ равен нулю. Согласно теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p$.
Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -q$.

Теперь подставим найденную сумму корней ($x_1 + x_2 + x_3 = 0$) в наше выражение для суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -p(0) - 3q = -3q$.

С другой стороны, выразим правую часть доказываемого тождества $3x_1x_2x_3$ через коэффициент $q$. Используя формулу Виета для произведения корней, имеем:

$3x_1x_2x_3 = 3(-q) = -3q$.

Таким образом, мы получили, что обе части доказываемого равенства равны одной и той же величине $-3q$:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q$ и $3x_1x_2x_3 = -3q$.

Отсюда следует, что $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$, что и требовалось доказать.

Альтернативный способ: можно воспользоваться известным алгебраическим тождеством $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$. Так как из формул Виета для нашего уравнения следует, что $x_1+x_2+x_3=0$, то правая часть этого тождества (при $a=x_1, b=x_2, c=x_3$) обращается в ноль. Следовательно, $x_1^3+x_2^3+x_3^3 - 3x_1x_2x_3 = 0$, что равносильно доказываемому равенству.

Ответ: Утверждение доказано.