Номер 344, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

344. При каких значениях $a$ и $b$ многочлен $a(x^4 + y^4 + x^2y^2) + bxy(x^2 - y^2) + y^4$ делится на $(x+y)(2x-y)$?

Пусть $P(x, y) = a(x^4 + y^4 + x^2y^2) + bxy(x^2 - y^2) + y^4$.

Для того чтобы многочлен $P(x, y)$ делился на $(x+y)(2x-y)$, необходимо и достаточно, чтобы $P(x, y)$ обращался в ноль при всех значениях $x$ и $y$, для которых множители делителя равны нулю. Это происходит в двух случаях:

1. Когда $x+y=0$, то есть $y=-x$.

2. Когда $2x-y=0$, то есть $y=2x$.

Рассмотрим последовательно оба условия.

1. Условие делимости на $(x+y)$

Подставим $y=-x$ в многочлен $P(x, y)$ и приравняем его к нулю. Это должно выполняться для любого значения $x$.

$P(x, -x) = a(x^4 + (-x)^4 + x^2(-x)^2) + bx(-x)(x^2 - (-x)^2) + (-x)^4 = 0$

Упростим полученное выражение:

$a(x^4 + x^4 + x^4) - bx^2(x^2 - x^2) + x^4 = 0$

$a(3x^4) - bx^2(0) + x^4 = 0$

$3ax^4 + x^4 = 0$

$(3a+1)x^4 = 0$

Так как это равенство должно быть верным для любого $x$, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$3a+1=0$

$a = -\frac{1}{3}$

2. Условие делимости на $(2x-y)$

Аналогично, подставим $y=2x$ в многочлен $P(x, y)$ и приравняем его к нулю.

$P(x, 2x) = a(x^4 + (2x)^4 + x^2(2x)^2) + bx(2x)(x^2 - (2x)^2) + (2x)^4 = 0$

Упростим выражение:

$a(x^4 + 16x^4 + 4x^4) + 2bx^2(x^2 - 4x^2) + 16x^4 = 0$

$a(21x^4) + 2bx^2(-3x^2) + 16x^4 = 0$

$21ax^4 - 6bx^4 + 16x^4 = 0$

$(21a - 6b + 16)x^4 = 0$

Так как это равенство должно быть верным для любого $x$, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$21a - 6b + 16 = 0$

3. Нахождение значений $a$ и $b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = -\frac{1}{3} \\ 21a - 6b + 16 = 0 \end{cases}$

Подставим значение $a = -1/3$ из первого уравнения во второе:

$21\left(-\frac{1}{3}\right) - 6b + 16 = 0$

$-7 - 6b + 16 = 0$

$9 - 6b = 0$

$6b = 9$

$b = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Таким образом, многочлен делится на $(x+y)(2x-y)$ при $a = -1/3$ и $b = 3/2$.

Ответ: $a = -\frac{1}{3}, b = \frac{3}{2}$.