Номер 351, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

351. Сколько рациональных членов содержит разложение:

1) $(\sqrt{3} + \sqrt[4]{5})^{124}$;

2) $(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3})^{100}$ ?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $k$ принимает целые значения от 0 до $n$. Коэффициент $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ всегда является целым числом, а значит, и рациональным. Таким образом, для того чтобы член разложения был рациональным, необходимо, чтобы множитель $a^{n-k}b^k$ был рациональным числом.

В данном случае $a = \sqrt{3} = 3^{1/2}$, $b = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и $n=124$.

Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_{124}^k (\sqrt{3})^{124-k} (\sqrt[4]{5})^k = C_{124}^k (3^{1/2})^{124-k} (5^{1/4})^k = C_{124}^k 3^{\frac{124-k}{2}} 5^{\frac{k}{4}}$

Чтобы этот член был рациональным, показатели степеней у чисел 3 и 5 должны быть целыми числами. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{124-k}{2} \in \mathbb{Z} \\ \frac{k}{4} \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4, то есть $k = 4m$, где $m$ – целое число. Если $k$ кратно 4, то оно также кратно 2 (четное). Подставим это в первое условие: $\frac{124-k}{2} = \frac{124}{2} - \frac{k}{2} = 62 - \frac{k}{2}$. Поскольку $k$ четное, $k/2$ является целым числом, и вся разность также будет целым числом. Таким образом, достаточно выполнения только второго условия: $k$ должно быть кратно 4.

Индекс $k$ в разложении бинома изменяется от 0 до $n$, то есть $0 \le k \le 124$. Нам нужно найти количество значений $k$, которые кратны 4 в этом диапазоне.

Возможные значения $k$: 0, 4, 8, ..., 124.

Чтобы найти их количество, можно разделить верхнюю границу на 4 и учесть 0: $\frac{124}{4} = 31$. Значит, $k$ может принимать значения $4 \cdot 0, 4 \cdot 1, \dots, 4 \cdot 31$. Общее количество таких значений равно $31 - 0 + 1 = 32$.

Ответ: 32

В данном случае $a = \sqrt{2} = 2^{1/2}$, $b = \sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$ и $n=100$.

Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_{100}^k (\sqrt{2})^{100-k} (\sqrt[4]{3})^k = C_{100}^k (2^{1/2})^{100-k} (3^{1/4})^k = C_{100}^k 2^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{4}}$

Для того чтобы член был рациональным, показатели степеней у чисел 2 и 3 должны быть целыми числами:

$\begin{cases} \frac{100-k}{2} \in \mathbb{Z} \\ \frac{k}{4} \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Как и в предыдущем пункте, из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4. Если $k$ кратно 4, то оно автоматически является четным, и первое условие ($\frac{100-k}{2} = 50 - \frac{k}{2}$) также выполняется. Следовательно, нам нужно найти все значения $k$, кратные 4.

Индекс $k$ изменяется в диапазоне $0 \le k \le 100$.

Возможные значения $k$: 0, 4, 8, ..., 100.

Чтобы найти их количество, разделим верхнюю границу на 4 и учтем 0: $\frac{100}{4} = 25$. Значит, $k$ может принимать значения $4 \cdot 0, 4 \cdot 1, \dots, 4 \cdot 25$. Общее количество таких значений равно $25 - 0 + 1 = 26$.

Ответ: 26