Номер 358, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

358. 1) $\begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9, \\ 2y - 3x = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91, \\ x + 3y - 10 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x - 1)(y - 1) = 2, \\ x + y = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1, \\ x - y = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}2x^2 - 2xy + x = -9 \\2y - 3x = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 1$

$y = \frac{3x + 1}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x^2 - 2x\left(\frac{3x + 1}{2}\right) + x = -9$

Упростим полученное уравнение:

$2x^2 - x(3x + 1) + x = -9$

$2x^2 - 3x^2 - x + x = -9$

$-x^2 = -9$

$x^2 = 9$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{3(3) + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{3(-3) + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(3; 5)$, $(-3; -4)$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\x + 3y - 10 = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 10 - 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(10 - 3y)^2 + 6(10 - 3y)y + 8y^2 = 91$

Раскроем скобки и упростим:

$100 - 60y + 9y^2 + 60y - 18y^2 + 8y^2 = 91$

Приведем подобные члены:

$100 + (9 - 18 + 8)y^2 = 91$

$100 - y^2 = 91$

$y^2 = 100 - 91$

$y^2 = 9$

Отсюда находим два значения для $y$:

$y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 10 - 3(-3) = 10 + 9 = 19$.

Таким образом, мы получили два решения.

Ответ: $(1; 3)$, $(19; -3)$.

3) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}(x - 1)(y - 1) = 2 \\x + y = 5\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 1)((5 - x) - 1) = 2$

$(x - 1)(4 - x) = 2$

Раскроем скобки:

$4x - x^2 - 4 + x = 2$

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

4) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}(x - 2)(y + 1) = 1 \\x - y = 3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$((y + 3) - 2)(y + 1) = 1$

Упростим выражение в первых скобках:

$(y + 1)(y + 1) = 1$

$(y + 1)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

$y + 1 = 1$ или $y + 1 = -1$.

Из первого уравнения получаем $y_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$.

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 3 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Получили два решения.

Ответ: $(3; 0)$, $(1; -2)$.