Номер 356, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

356. Найти пятый член разложения бинома $(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a})^m$, если коэффициент третьего члена равен 66.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(u+v)^m$:

$(u+v)^m = \sum_{k=0}^{m} C_m^k u^{m-k} v^k$

Общий $(k+1)$-й член этого разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_m^k u^{m-k} v^k$, где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В нашем случае дан бином $(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a})^m$. Следовательно, $u = \frac{a}{\sqrt{x}}$ и $v = \frac{\sqrt{x}}{a}$.

Сначала необходимо найти показатель степени $m$. По условию, коэффициент третьего члена разложения равен 66.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k+1 = 3$, то есть $k=2$. Его коэффициент — это биномиальный коэффициент $C_m^2$.

$C_m^2 = 66$

Используем формулу для $C_m^k$:

$C_m^2 = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)(m-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

Составим и решим уравнение относительно $m$:

$\frac{m(m-1)}{2} = 66$

$m(m-1) = 132$

$m^2 - m - 132 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 = 23^2$

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку показатель степени бинома $m$ должен быть натуральным числом, мы принимаем значение $m = 12$.

Теперь, зная $m=12$, мы можем найти пятый член разложения, $T_5$. Пятый член соответствует $k+1=5$, то есть $k=4$.

$T_5 = C_{12}^4 (\frac{a}{\sqrt{x}})^{12-4} (\frac{\sqrt{x}}{a})^4 = C_{12}^4 (\frac{a}{\sqrt{x}})^8 (\frac{\sqrt{x}}{a})^4$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_{12}^4$:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$

Теперь упростим выражение с переменными $a$ и $x$:

$(\frac{a}{\sqrt{x}})^8 (\frac{\sqrt{x}}{a})^4 = \frac{a^8}{(\sqrt{x})^8} \cdot \frac{(\sqrt{x})^4}{a^4} = \frac{a^8}{x^4} \cdot \frac{x^2}{a^4} = a^{8-4}x^{2-4} = a^4x^{-2} = \frac{a^4}{x^2}$

Наконец, объединим полученные части, чтобы найти полный вид пятого члена разложения:

$T_5 = 495 \cdot \frac{a^4}{x^2}$

Ответ: $495\frac{a^4}{x^2}$