Номер 361, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

361. 1) $\begin{cases} y - x = 1, \\ x^3 - 4xy + 5y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 2x^3 + 9xy + 25y + 44 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 1, \\ 6x^2y + xy - y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - x = 2, \\ 2x^3y + 9x^2y - 5xy = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 1 \\ x^3 - 4xy + 5y = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = x + 1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^3 - 4x(x+1) + 5(x+1) = -1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4x^2 - 4x + 5x + 5 = -1$

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена 6, то есть $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Методом подбора находим три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = x + 1$:

1. При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 1 = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

2. При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 + 1 = 3$. Получаем решение $(2, 3)$.

3. При $x_3 = 3$, $y_3 = 3 + 1 = 4$. Получаем решение $(3, 4)$.

Ответ: $(-1, 0), (2, 3), (3, 4)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x^3 + 9xy + 25y + 44 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:

$x = y + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(y+2)^3 + 9(y+2)y + 25y + 44 = 0$

Раскроем скобки: $2(y^3 + 6y^2 + 12y + 8) + 9y^2 + 18y + 25y + 44 = 0$

$2y^3 + 12y^2 + 24y + 16 + 9y^2 + 18y + 25y + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^3 + 21y^2 + 67y + 60 = 0$

Подбором находим один из корней этого кубического уравнения. Пробуем делители свободного члена 60. Корень $y_1 = -4$.

Разделим многочлен $2y^3 + 21y^2 + 67y + 60$ на $(y+4)$ и получим квадратный трехчлен $2y^2 + 13y + 15$.

Теперь решаем уравнение $(y+4)(2y^2 + 13y + 15) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2y^2 + 13y + 15 = 0$.

Дискриминант $\Delta = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни: $y_2 = \frac{-13 - 7}{4} = -5$ и $y_3 = \frac{-13 + 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Найдем соответствующие значения x по формуле $x = y + 2$:

1. При $y_1 = -4$, $x_1 = -4 + 2 = -2$. Решение $(-2, -4)$.

2. При $y_2 = -5$, $x_2 = -5 + 2 = -3$. Решение $(-3, -5)$.

3. При $y_3 = -3/2$, $x_3 = -3/2 + 2 = 1/2$. Решение $(1/2, -3/2)$.

Ответ: $(-2, -4), (-3, -5), (1/2, -3/2)$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ 6x^2y + xy - y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6x^2(x-1) + x(x-1) - (x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(6x^2 + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $6x^2 + x - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_2 = \frac{-1 - 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = x - 1$:

1. При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 1 = 0$. Решение $(1, 0)$.

2. При $x_2 = -1/2$, $y_2 = -1/2 - 1 = -3/2$. Решение $(-1/2, -3/2)$.

3. При $x_3 = 1/3$, $y_3 = 1/3 - 1 = -2/3$. Решение $(1/3, -2/3)$.

Ответ: $(1, 0), (-1/2, -3/2), (1/3, -2/3)$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 2 \\ 2x^3y + 9x^2y - 5xy = 0 \end{cases}$

Во втором уравнении вынесем общий множитель xy за скобки:

$xy(2x^2 + 9x - 5) = 0$

Это уравнение распадается на три случая:

1. $x = 0$. Подставим в первое уравнение системы: $y - 0 = 2 \implies y = 2$. Получаем решение $(0, 2)$.

2. $y = 0$. Подставим в первое уравнение системы: $0 - x = 2 \implies x = -2$. Получаем решение $(-2, 0)$.

3. $2x^2 + 9x - 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_3 = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$ и $x_4 = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для каждого из этих корней найдем соответствующее значение y из первого уравнения $y = x + 2$:

• Если $x_3 = -5$, то $y_3 = -5 + 2 = -3$. Получаем решение $(-5, -3)$.

• Если $x_4 = 1/2$, то $y_4 = 1/2 + 2 = 5/2$. Получаем решение $(1/2, 5/2)$.

Всего система имеет четыре решения.

Ответ: $(0, 2), (-2, 0), (-5, -3), (1/2, 5/2)$.