Номер 362, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

362. 1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0 \end{cases} $

Второе уравнение системы, $x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0$, является однородным относительно $x^2$ и $y$. Чтобы его решить, можно рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной $x^2$. Пусть $t = x^2$, тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 3yt - 4y^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$, используя формулу для корней квадратного уравнения (где $y$ выступает в роли параметра):
$t = \frac{-(-3y) \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4y^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 + 16y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{3y \pm 5|y|}{2}$

Так как $t = x^2$, то $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$). Рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

Случай 1: $y \ge 0$.
В этом случае $|y| = y$.
$t = \frac{3y \pm 5y}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{3y+5y}{2} = 4y$
$t_2 = \frac{3y-5y}{2} = -y$
Поскольку $y \ge 0$, то $t_1 = 4y \ge 0$, что допустимо. А $t_2 = -y \le 0$. Равенство $x^2 = -y$ возможно только при $y=0$, что влечет $x=0$. Но пара $(0,0)$ не удовлетворяет первому уравнению системы ($0-0 \ne 2$). Значит, в этом случае остается только одно соотношение: $x^2 = 4y$.

Решим систему:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 = 4y \end{cases} $
Из первого уравнения $y = x - 2$. Подставим во второе:
$x^2 = 4(x - 2)$
$x^2 - 4x + 8 = 0$
Дискриминант этого уравнения $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $y < 0$.
В этом случае $|y| = -y$.
$t = \frac{3y \pm 5(-y)}{2} = \frac{3y \mp 5y}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{3y-5y}{2} = -y$
$t_2 = \frac{3y+5y}{2} = 4y$
Поскольку $y < 0$, то $t_1 = -y > 0$, что допустимо. А $t_2 = 4y < 0$, что невозможно для $x^2$. Таким образом, остается соотношение $x^2 = -y$.

Решим систему:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 = -y \end{cases} $
Из первого уравнения $y = x - 2$. Подставим во второе:
$x^2 = -(x-2)$
$x^2 = -x + 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение легко решается разложением на множители: $(x+2)(x-1) = 0$.
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x-2$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$. Проверяем условие $y < 0$: $-1 < 0$. Условие выполняется. Получаем решение $(1, -1)$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 - 2 = -4$. Проверяем условие $y < 0$: $-4 < 0$. Условие выполняется. Получаем решение $(-2, -4)$.

Ответ: $(1, -1), (-2, -4)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0 \end{cases} $

Второе уравнение, $2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0$, можно рассматривать как однородное уравнение второй степени относительно $x^2$ и $y$.

Проверим, может ли $y$ быть равным нулю. Если $y=0$, второе уравнение примет вид $2x^4 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0,0)$ не является решением системы, так как $x+y=0+0=0 \ne 2$. Следовательно, $y \ne 0$. Мы можем разделить второе уравнение на $y^2$:
$2\frac{x^4}{y^2} - 5\frac{x^2y}{y^2} + 3\frac{y^2}{y^2} = 0$
$2\left(\frac{x^2}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x^2}{y}\right) + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x^2}{y}$. Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Найдем его корни. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Возвращаемся к исходным переменным, что приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: $\frac{x^2}{y} = \frac{3}{2}$
Отсюда $2x^2 = 3y$. Решим систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 = 3y \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y = 2-x$ и подставим во второе:
$2x^2 = 3(2-x)$
$2x^2 = 6 - 3x$
$2x^2 + 3x - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+48}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{4}$
Находим соответствующие значения $y=2-x$:
Для $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{57}}{4}$, $y_1 = 2 - \frac{-3 + \sqrt{57}}{4} = \frac{8 - (-3 + \sqrt{57})}{4} = \frac{11 - \sqrt{57}}{4}$.
Для $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}$, $y_2 = 2 - \frac{-3 - \sqrt{57}}{4} = \frac{8 - (-3 - \sqrt{57})}{4} = \frac{11 + \sqrt{57}}{4}$.
Получены две пары решений: $(\frac{-3 + \sqrt{57}}{4}, \frac{11 - \sqrt{57}}{4})$ и $(\frac{-3 - \sqrt{57}}{4}, \frac{11 + \sqrt{57}}{4})$.

Случай 2: $\frac{x^2}{y} = 1$
Отсюда $x^2 = y$. Решим систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 = y \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$x + x^2 = 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Разложим на множители: $(x+2)(x-1) = 0$.
Корни: $x_3 = 1$ и $x_4 = -2$.
Находим соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^2$:
Для $x_3 = 1$, $y_3 = 1^2 = 1$.
Для $x_4 = -2$, $y_4 = (-2)^2 = 4$.
Получены еще две пары решений: $(1, 1)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: $(\frac{-3 + \sqrt{57}}{4}, \frac{11 - \sqrt{57}}{4}), (\frac{-3 - \sqrt{57}}{4}, \frac{11 + \sqrt{57}}{4}), (1, 1), (-2, 4)$.