Номер 369, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

369. 1) $\begin{cases} x + 2y = 3y^2, \\ 2x + y = 3x^2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + x + xy = 8, \\ y^2 + y + xy = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + 2y = 3y^2 \\2x + y = 3x^2\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y) - (2x + y) = 3y^2 - 3x^2$
$y - x = 3(y^2 - x^2)$
$y - x = 3(y - x)(y + x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:
$(y - x) - 3(y - x)(y + x) = 0$
$(y - x)(1 - 3(y + x)) = 0$
Это уравнение дает два возможных случая.

Случай 1: $y - x = 0$, откуда $y = x$.
Подставим $y = x$ в первое уравнение исходной системы:
$x + 2x = 3x^2$
$3x = 3x^2$
$3x^2 - 3x = 0$
$3x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Поскольку $y = x$, то соответствующие значения $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.
Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $1 - 3(y + x) = 0$.
$3(y + x) = 1$
$y + x = \frac{1}{3}$
Из этого соотношения выразим $y$: $y = \frac{1}{3} - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $x + 2y = 3y^2$:
$x + 2(\frac{1}{3} - x) = 3(\frac{1}{3} - x)^2$
$x + \frac{2}{3} - 2x = 3(\frac{1}{9} - \frac{2}{3}x + x^2)$
$\frac{2}{3} - x = \frac{1}{3} - 2x + 3x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$3x^2 - 2x + x + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 0$
$3x^2 - x - \frac{1}{3} = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
$9x^2 - 3x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 9 + 36 = 45$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{6}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{1}{3} - x$:
Если $x_3 = \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$, то $y_3 = \frac{1}{3} - \frac{1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{2 - 1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$.
Если $x_4 = \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$, то $y_4 = \frac{1}{3} - \frac{1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{2 - 1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$.
Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(\frac{1 + \sqrt{5}}{6}, \frac{1 - \sqrt{5}}{6})$ и $(\frac{1 - \sqrt{5}}{6}, \frac{1 + \sqrt{5}}{6})$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(\frac{1 + \sqrt{5}}{6}, \frac{1 - \sqrt{5}}{6})$, $(\frac{1 - \sqrt{5}}{6}, \frac{1 + \sqrt{5}}{6})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + x + xy = 8 \\y^2 + y + xy = 4\end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 + x + xy) + (y^2 + y + xy) = 8 + 4$
$x^2 + y^2 + x + y + 2xy = 12$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + 2xy + y^2) + (x + y) = 12$
$(x + y)^2 + (x + y) - 12 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + y$. Уравнение примет вид:
$t^2 + t - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Это дает нам два случая для суммы $x+y$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + x + xy) - (y^2 + y + xy) = 8 - 4$
$x^2 - y^2 + x - y = 4$
$(x - y)(x + y) + (x - y) = 4$
$(x - y)(x + y + 1) = 4$
Теперь будем поочередно подставлять найденные значения $x+y$ в это уравнение.

Случай 1: $x + y = 3$.
Подставляем в уравнение $(x - y)(x + y + 1) = 4$:
$(x - y)(3 + 1) = 4$
$4(x - y) = 4$
$x - y = 1$
Получили систему из двух линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = 3 \\x - y = 1\end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x = 2$ в первое уравнение, получим $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Первая пара решений: $(2, 1)$.

Случай 2: $x + y = -4$.
Подставляем в уравнение $(x - y)(x + y + 1) = 4$:
$(x - y)(-4 + 1) = 4$
$-3(x - y) = 4$
$x - y = -\frac{4}{3}$
Получили систему из двух линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = -4 \\x - y = -\frac{4}{3}\end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4 - \frac{4}{3} = -\frac{12}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{16}{3}$, откуда $x = -\frac{8}{3}$.
Подставив $x = -\frac{8}{3}$ в первое уравнение, получим $-\frac{8}{3} + y = -4$, откуда $y = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{12}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
Вторая пара решений: $(-\frac{8}{3}, -\frac{4}{3})$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-\frac{8}{3}, -\frac{4}{3})$.