Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

368. 1) $\begin{cases} (x-y)(x^2+y^2)=65, \\ (x+y)(x^2-y^2)=5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3+4y=y^3+16x, \\ 1+y^2=5(1+x^2). \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - y)(x^2 + y^2) = 65 \\ (x + y)(x^2 - y^2) = 5 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + y)(x - y)(x + y) = 5$

$(x - y)(x + y)^2 = 5$

Раскроем скобки в обоих уравнениях системы.
Первое уравнение: $x^3 + xy^2 - yx^2 - y^3 = 65$.
Второе уравнение (в преобразованном виде): $(x - y)(x^2 + 2xy + y^2) = x^3 + 2x^2y + xy^2 - yx^2 - 2xy^2 - y^3 = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 5$.

Получим новую систему:

$$ \begin{cases} x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = 65 \\ x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 5 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) + (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) = 65 + 5$

$2x^3 - 2y^3 = 70$

$x^3 - y^3 = 35$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) - (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) = 65 - 5$

$-2x^2y + 2xy^2 = 60$

$xy^2 - x^2y = 30 \implies xy(y - x) = 30 \implies xy(x - y) = -30$

Теперь решаем более простую систему:

$$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 35 \\ xy(x - y) = -30 \end{cases} $$

Разложим первое уравнение на множители: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 35$.

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x - y$ и $v = xy$.
Второе уравнение принимает вид $v \cdot u = -30$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$:
$u^2 = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2v$.
Отсюда $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.
Подставим это в первое уравнение:
$u((u^2 + 2v) + v) = 35$
$u(u^2 + 3v) = 35$
$u^3 + 3uv = 35$

Подставим $uv = -30$ в полученное уравнение:

$u^3 + 3(-30) = 35$

$u^3 - 90 = 35$

$u^3 = 125$

$u = 5$

Теперь найдем $v$:

$v = -30 / u = -30 / 5 = -6$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = -6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = y + 5$ и подставим во второе:

$(y + 5)y = -6$

$y^2 + 5y + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
1. Если $y = -2$, то $x = -2 + 5 = 3$. Получаем пару $(3, -2)$.
2. Если $y = -3$, то $x = -3 + 5 = 2$. Получаем пару $(2, -3)$.

Обе пары являются решениями исходной системы.

Ответ: $(3, -2), (2, -3)$.

2) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 + 4y = y^3 + 16x \\ 1 + y^2 = 5(1 + x^2) \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения.
Из первого уравнения:
$x^3 - y^3 = 16x - 4y$
$x^3 - 16x = y^3 - 4y$
$x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4)$

Из второго уравнения:
$1 + y^2 = 5 + 5x^2$
$y^2 - 5x^2 = 4$
Отсюда можно выразить $y^2 - 4 = 5x^2$.

Рассмотрим случай, когда $x = 0$.
Подставим $x = 0$ во второе уравнение:
$1 + y^2 = 5(1 + 0^2) \implies 1 + y^2 = 5 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Проверим эти пары в первом уравнении.
Для $(0, 2)$: $0^3 + 4(2) = 2^3 + 16(0) \implies 8 = 8$. Верно.
Для $(0, -2)$: $0^3 + 4(-2) = (-2)^3 + 16(0) \implies -8 = -8$. Верно.
Таким образом, $(0, 2)$ и $(0, -2)$ являются решениями системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$.
Подставим выражение $y^2 - 4 = 5x^2$ в преобразованное первое уравнение $x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4)$:
$x(x^2 - 16) = y(5x^2)$
Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $x$:
$x^2 - 16 = 5xy$

Теперь у нас есть новая система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 16 = 5xy \\ y^2 - 5x^2 = 4 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$ (так как $x \neq 0$):

$y = \frac{x^2 - 16}{5x}$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$\left(\frac{x^2 - 16}{5x}\right)^2 - 5x^2 = 4$

$\frac{(x^2 - 16)^2}{25x^2} - 5x^2 = 4$

Умножим обе части на $25x^2$:

$(x^2 - 16)^2 - 125x^4 = 100x^2$

$x^4 - 32x^2 + 256 - 125x^4 - 100x^2 = 0$

$-124x^4 - 132x^2 + 256 = 0$

Разделим уравнение на $-4$ для упрощения:

$31x^4 + 33x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$31t^2 + 33t - 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $31 + 33 - 64 = 0$, следовательно, один из корней равен $t_1 = 1$.
Второй корень можно найти по теореме Виета: $t_1 t_2 = c/a$.
$1 \cdot t_2 = -64/31 \implies t_2 = -64/31$.
Так как $t = x^2$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -64/31$ не подходит.

Итак, $x^2 = t_1 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1. Если $x = 1$, то $y = \frac{1^2 - 16}{5(1)} = \frac{-15}{5} = -3$. Получаем пару $(1, -3)$.
2. Если $x = -1$, то $y = \frac{(-1)^2 - 16}{5(-1)} = \frac{1 - 16}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$. Получаем пару $(-1, 3)$.

Соберем все найденные решения.

Ответ: $(0, 2), (0, -2), (1, -3), (-1, 3)$.

369. 1) $\begin{cases} x + 2y = 3y^2, \\ 2x + y = 3x^2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + x + xy = 8, \\ y^2 + y + xy = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + 2y = 3y^2 \\2x + y = 3x^2\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y) - (2x + y) = 3y^2 - 3x^2$
$y - x = 3(y^2 - x^2)$
$y - x = 3(y - x)(y + x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:
$(y - x) - 3(y - x)(y + x) = 0$
$(y - x)(1 - 3(y + x)) = 0$
Это уравнение дает два возможных случая.

Случай 1: $y - x = 0$, откуда $y = x$.
Подставим $y = x$ в первое уравнение исходной системы:
$x + 2x = 3x^2$
$3x = 3x^2$
$3x^2 - 3x = 0$
$3x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Поскольку $y = x$, то соответствующие значения $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.
Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $1 - 3(y + x) = 0$.
$3(y + x) = 1$
$y + x = \frac{1}{3}$
Из этого соотношения выразим $y$: $y = \frac{1}{3} - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $x + 2y = 3y^2$:
$x + 2(\frac{1}{3} - x) = 3(\frac{1}{3} - x)^2$
$x + \frac{2}{3} - 2x = 3(\frac{1}{9} - \frac{2}{3}x + x^2)$
$\frac{2}{3} - x = \frac{1}{3} - 2x + 3x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$3x^2 - 2x + x + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 0$
$3x^2 - x - \frac{1}{3} = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
$9x^2 - 3x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 9 + 36 = 45$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{6}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{1}{3} - x$:
Если $x_3 = \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$, то $y_3 = \frac{1}{3} - \frac{1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{2 - 1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$.
Если $x_4 = \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$, то $y_4 = \frac{1}{3} - \frac{1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1 - \sqrt{5}}{6} = \frac{2 - 1 + \sqrt{5}}{6} = \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$.
Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(\frac{1 + \sqrt{5}}{6}, \frac{1 - \sqrt{5}}{6})$ и $(\frac{1 - \sqrt{5}}{6}, \frac{1 + \sqrt{5}}{6})$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(\frac{1 + \sqrt{5}}{6}, \frac{1 - \sqrt{5}}{6})$, $(\frac{1 - \sqrt{5}}{6}, \frac{1 + \sqrt{5}}{6})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + x + xy = 8 \\y^2 + y + xy = 4\end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 + x + xy) + (y^2 + y + xy) = 8 + 4$
$x^2 + y^2 + x + y + 2xy = 12$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + 2xy + y^2) + (x + y) = 12$
$(x + y)^2 + (x + y) - 12 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + y$. Уравнение примет вид:
$t^2 + t - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Это дает нам два случая для суммы $x+y$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + x + xy) - (y^2 + y + xy) = 8 - 4$
$x^2 - y^2 + x - y = 4$
$(x - y)(x + y) + (x - y) = 4$
$(x - y)(x + y + 1) = 4$
Теперь будем поочередно подставлять найденные значения $x+y$ в это уравнение.

Случай 1: $x + y = 3$.
Подставляем в уравнение $(x - y)(x + y + 1) = 4$:
$(x - y)(3 + 1) = 4$
$4(x - y) = 4$
$x - y = 1$
Получили систему из двух линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = 3 \\x - y = 1\end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x = 2$ в первое уравнение, получим $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Первая пара решений: $(2, 1)$.

Случай 2: $x + y = -4$.
Подставляем в уравнение $(x - y)(x + y + 1) = 4$:
$(x - y)(-4 + 1) = 4$
$-3(x - y) = 4$
$x - y = -\frac{4}{3}$
Получили систему из двух линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = -4 \\x - y = -\frac{4}{3}\end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4 - \frac{4}{3} = -\frac{12}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{16}{3}$, откуда $x = -\frac{8}{3}$.
Подставив $x = -\frac{8}{3}$ в первое уравнение, получим $-\frac{8}{3} + y = -4$, откуда $y = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{12}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
Вторая пара решений: $(-\frac{8}{3}, -\frac{4}{3})$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-\frac{8}{3}, -\frac{4}{3})$.

370. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней $216 м^3$ древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала $8 м^3$ сверх плана, поэтому за день до срока было заготовлено $232 м^3$ древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада заготавливать по плану?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

1. Составление математической модели

Пусть $x$ м³/день – плановая норма заготовки древесины.
Тогда плановое время для заготовки 216 м³ древесины составляет $t_{план} = \frac{216}{x}$ дней.

По условию, первые 3 дня бригада работала по плану. Объем заготовленной за это время древесины составляет $3x$ м³.

Затем бригада стала заготавливать на 8 м³ в день больше плана, то есть ее производительность стала $(x+8)$ м³/день.

Работа была выполнена за день до планового срока, то есть фактическое время работы составило $t_{факт} = t_{план} - 1 = \frac{216}{x} - 1$ дней.

Количество дней, в течение которых бригада работала с повышенной производительностью, равно:
$t_{повыш} = t_{факт} - 3 = \left(\frac{216}{x} - 1\right) - 3 = \frac{216}{x} - 4$ дней.

Объем древесины, заготовленный за эти дни, равен $(x+8) \cdot \left(\frac{216}{x} - 4\right)$ м³.

Общий объем заготовленной древесины составил 232 м³. Можем составить уравнение, сложив объемы, заготовленные в разные периоды:
$3x + (x+8) \cdot \left(\frac{216}{x} - 4\right) = 232$

2. Решение уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3x + x \cdot \frac{216}{x} - 4x + 8 \cdot \frac{216}{x} - 8 \cdot 4 = 232$
$3x + 216 - 4x + \frac{1728}{x} - 32 = 232$

Приведем подобные слагаемые:
$-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232$

Перенесем все члены, не содержащие $x$, в правую часть:
$-x + \frac{1728}{x} = 232 - 184$
$-x + \frac{1728}{x} = 48$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$, что соответствует условию задачи), чтобы избавиться от знаменателя:
$-x^2 + 1728 = 48x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 48x - 1728 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216$
$\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$

$x_1 = \frac{-48 + 96}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{-48 - 96}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как норма заготовки древесины ($x$) не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x=24$.

3. Проверка

Плановая норма — 24 м³/день.
Плановое время на заготовку 216 м³: $216 / 24 = 9$ дней.
Фактическое время работы: $9 - 1 = 8$ дней.
За первые 3 дня заготовлено: $3 \cdot 24 = 72$ м³.
Осталось работать: $8 - 3 = 5$ дней.
Производительность в эти 5 дней: $24 + 8 = 32$ м³/день.
Заготовлено за эти 5 дней: $5 \cdot 32 = 160$ м³.
Всего заготовлено: $72 + 160 = 232$ м³.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: бригада должна была заготавливать по плану 24 кубических метра древесины в день.

371. В бассейн проведены две трубы: через первую вода вливается, через вторую выливается. При совместном действии труб бассейн наполняется за 6 ч. Если бы первая труба, работая отдельно, заполняла бассейн на 1 ч дольше, а вторая сливала всю воду также на 1 ч дольше, чем первоначально, то при совместной работе этих труб бассейн наполнился бы за 12 ч. За сколько часов первая труба, работая отдельно, наполнит бассейн, а вторая сольёт всю воду?

Обозначим объем бассейна за 1.
Пусть $x$ – время (в часах), за которое первая труба наполняет бассейн, работая отдельно.
Пусть $y$ – время (в часах), за которое вторая труба выливает всю воду из бассейна, работая отдельно.

Тогда производительность первой трубы (скорость наполнения) равна $\frac{1}{x}$ бассейна/час, а производительность второй трубы (скорость слива) равна $\frac{1}{y}$ бассейна/час.

Согласно первому условию, при совместной работе бассейн наполняется за 6 часов. Это означает, что разница их производительностей равна $\frac{1}{6}$.
Составим первое уравнение:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, если бы первая труба работала на 1 час дольше ($x+1$), а вторая также на 1 час дольше ($y+1$), то при совместной работе бассейн наполнился бы за 12 часов.
Новая производительность первой трубы была бы $\frac{1}{x+1}$, а второй — $\frac{1}{y+1}$.
Составим второе уравнение:
$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12}$

Получаем систему из двух уравнений:
$\

372. Для размещения журналов достаточно купить 13 стандартных полок. Но в продаже были полки, на каждой из которых помещается на 7 журналов меньше, чем на стандартных, то купили 27 полок, при этом осталось свободное место для 7 журналов. Сколько журналов было в комплекте?

Пусть $x$ — это количество журналов, которое помещается на одной стандартной полке, а $N$ — общее количество журналов в комплекте.

Из условия известно, что для размещения всех журналов достаточно 13 стандартных полок. Это означает, что общее количество журналов не превышает вместимости 13 полок, то есть $N \le 13x$. Также, поскольку речь идет о "достаточном" количестве, можно предположить, что 12 полок было бы уже недостаточно, то есть $12x < N$. Объединяя эти два условия, получаем неравенство:
$12x < N \le 13x$

Далее, в продаже были другие полки, каждая из которых вмещает на 7 журналов меньше, чем стандартная. Вместимость такой полки составляет $(x - 7)$ журналов.

Купили 27 таких полок. Общая вместимость этих 27 полок равна $27 \cdot (x - 7)$ журналов. После размещения всех журналов на этих полках осталось свободное место для 7 журналов. Это значит, что общее количество журналов $N$ на 7 меньше общей вместимости купленных полок. Составим уравнение:
$N = 27 \cdot (x - 7) - 7$

Теперь подставим выражение для $N$ из уравнения в двойное неравенство:
$12x < 27(x - 7) - 7 \le 13x$

Решим это двойное неравенство, разбив его на два:
1) $12x < 27(x - 7) - 7$
$12x < 27x - 189 - 7$
$12x < 27x - 196$
$196 < 27x - 12x$
$196 < 15x$
$x > \frac{196}{15}$
$x > 13 \frac{1}{15}$

2) $27(x - 7) - 7 \le 13x$
$27x - 189 - 7 \le 13x$
$27x - 196 \le 13x$
$27x - 13x \le 196$
$14x \le 196$
$x \le \frac{196}{14}$
$x \le 14$

Объединив результаты, получаем:
$13 \frac{1}{15} < x \le 14$

Поскольку вместимость полки $x$ должна быть целым числом, единственное возможное значение — это $x=14$. Значит, на стандартной полке помещается 14 журналов.

Теперь найдем общее количество журналов $N$, используя найденное значение $x$:
$N = 27(x - 7) - 7 = 27(14 - 7) - 7 = 27 \cdot 7 - 7 = 189 - 7 = 182$

Итак, в комплекте было 182 журнала.

Ответ: 182.

373. Из пунктов $A$ и $B$ выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от $B$, а в момент прибытия мотоциклиста в $B$ велосипедист находился на расстоянии 15 км от $A$. Определить расстояние от $A$ до $B$.

Обозначим искомое расстояние от А до В как $S$ км. Пусть $v_m$ — скорость мотоциклиста (ехавшего из А), а $v_v$ — скорость велосипедиста (ехавшего из В).

Этап 1: Движение до встречи.
Мотоциклист и велосипедист встретились на расстоянии 4 км от пункта В. Это значит, что к моменту встречи велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист — оставшуюся часть пути, равную $S - 4$ км.Поскольку они выехали одновременно, время до встречи ($t_1$) для них одинаково.
Время для мотоциклиста: $t_1 = \frac{S - 4}{v_m}$.
Время для велосипедиста: $t_1 = \frac{4}{v_v}$.
Приравнивая эти выражения, получаем соотношение их скоростей:$\frac{S - 4}{v_m} = \frac{4}{v_v} \implies \frac{v_m}{v_v} = \frac{S - 4}{4}$.

Этап 2: Движение до прибытия мотоциклиста в В.
Мотоциклист проехал все расстояние $S$ от А до В. Время, которое он на это затратил ($t_2$), равно $t_2 = \frac{S}{v_m}$.За это же время $t_2$ велосипедист, выехавший из В, находился на расстоянии 15 км от А. Это означает, что он проехал расстояние $S - 15$ км от своего начального пункта В.Время движения велосипедиста также равно $t_2$: $t_2 = \frac{S - 15}{v_v}$.
Приравнивая выражения для $t_2$, получаем второе соотношение скоростей:$\frac{S}{v_m} = \frac{S - 15}{v_v} \implies \frac{v_m}{v_v} = \frac{S}{S - 15}$.

Этап 3: Решение уравнения.
Мы получили два разных выражения для одного и того же отношения скоростей $\frac{v_m}{v_v}$. Приравняем их друг к другу:
$\frac{S - 4}{4} = \frac{S}{S - 15}$.
Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(S - 4)(S - 15) = 4S$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$S^2 - 15S - 4S + 60 = 4S$
$S^2 - 19S + 60 = 4S$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$S^2 - 19S - 4S + 60 = 0$
$S^2 - 23S + 60 = 0$.

Этап 4: Нахождение корней и проверка.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 529 - 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем два возможных корня для $S$:
$S_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$.
$S_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Теперь необходимо проверить, какой из корней соответствует условиям задачи.
1. Если $S = 3$ км, то это противоречит условию, что встреча произошла в 4 км от пункта В, так как место встречи не может быть дальше, чем всё расстояние. Также это противоречит тому, что велосипедист оказался в 15 км от А. Следовательно, этот корень не является решением задачи.
2. Если $S = 20$ км, все условия выполняются: встреча в 4 км от В возможна ($4 < 20$), и положение велосипедиста в 15 км от А также возможно ($15 < 20$).
Следовательно, расстояние от А до В составляет 20 км.
Ответ: 20 км.

374. Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между пунктами А и В. Через 42 мин после начала движения произошла их первая встреча, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль впервые окажутся одновременно в пункте А?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами А и В.
• $v_а$ — скорость автобуса.
• $v_м$ — скорость автомобиля.
• $t_1 = 42$ мин — время до первой встречи.
• $t_2 = 2$ ч $34$ мин $= 120 + 34 = 154$ мин — время до первого обгона.

1. Анализ первой встречи.

Автобус и автомобиль начинают движение одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В соответственно. Их первая встреча происходит через $t_1 = 42$ минуты. За это время суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами А и В.
$v_а \cdot t_1 + v_м \cdot t_1 = S$
$(v_а + v_м) \cdot 42 = S$

2. Анализ первого обгона.

Первый обгон происходит через $t_2 = 154$ минуты после начала движения. Обгон означает, что автомобиль и автобус находятся в одной точке и движутся в одном направлении. Поскольку автомобиль стартовал из пункта В, а автобус из пункта А, для обгона автомобиль должен был доехать до пункта А, развернуться и догнать автобус, который в это время движется из А в В.
За время $t_2$ автобус проехал расстояние $S_а = v_а \cdot t_2$.
Автомобиль за это же время проехал расстояние $S_м = v_м \cdot t_2$. Чтобы догнать автобус, автомобиль преодолел все расстояние $S$ от В до А, а затем проехал то же расстояние, что и автобус от пункта А. Таким образом, расстояние, пройденное автомобилем, на $S$ больше расстояния, пройденного автобусом.
$S_м = S_а + S$
$v_м \cdot t_2 = v_а \cdot t_2 + S$
$S = (v_м - v_а) \cdot 154$

3. Нахождение соотношения скоростей.

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $(v_а + v_м) \cdot 42 = S$
2) $(v_м - v_а) \cdot 154 = S$
Приравняем левые части:
$(v_а + v_м) \cdot 42 = (v_м - v_а) \cdot 154$
Разделим обе части уравнения на 14 (общий делитель чисел 42 и 154):
$3 \cdot (v_а + v_м) = 11 \cdot (v_м - v_а)$
$3v_а + 3v_м = 11v_м - 11v_а$
$14v_а = 8v_м$
$7v_а = 4v_м$
Отсюда находим соотношение скоростей: $v_м = \frac{7}{4}v_а$.

4. Расчет времени в пути.

Найдем время, за которое автобус и автомобиль проезжают расстояние $S$. Обозначим это время как $T_а$ и $T_м$ соответственно.
$T_а = \frac{S}{v_а}$ и $T_м = \frac{S}{v_м}$.
Подставим выражение для $v_м$ в первое уравнение:
$S = (v_а + \frac{7}{4}v_а) \cdot 42 = \frac{11}{4}v_а \cdot 42 = \frac{462}{4}v_а = \frac{231}{2}v_а = 115.5 v_а$.
Тогда время, за которое автобус проезжает расстояние от А до В, равно:
$T_а = \frac{S}{v_а} = 115.5$ минут.
Время, за которое автомобиль проезжает расстояние от А до В, равно:
$T_м = \frac{S}{v_м} = \frac{S}{\frac{7}{4}v_а} = \frac{4}{7} \cdot \frac{S}{v_а} = \frac{4}{7} T_а = \frac{4}{7} \cdot 115.5 = 66$ минут.

5. Нахождение времени одновременного прибытия в пункт А.

Автобус стартует из пункта А. Он возвращается в пункт А после каждого полного круга (А-В-А). Время одного полного круга для автобуса составляет $2 \cdot T_а = 2 \cdot 115.5 = 231$ минуту. Таким образом, автобус будет в пункте А в моменты времени $t = 231 \cdot k$ минут, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).
Автомобиль стартует из пункта В. Впервые он прибывает в пункт А через время $T_м = 66$ минут. Затем он будет возвращаться в пункт А после каждого полного круга (В-А-В), время которого составляет $2 \cdot T_м = 2 \cdot 66 = 132$ минуты. Таким образом, автомобиль будет в пункте А в моменты времени $t = 66 + 132 \cdot n$ минут, где $n$ — целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, ...$).
Чтобы найти, когда они впервые окажутся в пункте А одновременно (после начала движения), нужно найти наименьшее положительное $t$, для которого выполняются оба условия. Приравняем выражения для времени:
$231 \cdot k = 66 + 132 \cdot n$ (где $k>0, n \ge 0$)
Разделим уравнение на их наибольший общий делитель, который равен 33:
$7k = 2 + 4n$
Нам нужно найти наименьшее натуральное $k$, для которого $n$ будет целым неотрицательным числом.
При $k=1$: $7 = 2 + 4n \Rightarrow 4n = 5 \Rightarrow n = 5/4$ (не целое).
При $k=2$: $14 = 2 + 4n \Rightarrow 4n = 12 \Rightarrow n = 3$ (целое).
Наименьшее подходящее значение $k=2$.
Теперь вычислим время $t$:
$t = 231 \cdot k = 231 \cdot 2 = 462$ минуты.
Переведем это время в часы и минуты:
$462 \text{ мин} = 7 \cdot 60 + 42 = 7$ часов 42 минуты.

Ответ: Автобус и автомобиль впервые окажутся одновременно в пункте А через 462 минуты, или 7 часов 42 минуты после начала движения.

375. Найти действительные решения системы уравнений

$\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0, \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0, \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0. \end{cases}$

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 13 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Мы ищем действительные решения. Сумма квадратов двух действительных выражений $(x - 2)^2$ и $(y + 3)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Следовательно, мы получаем систему:

$\begin{cases} (x - 2)^2 = 0 \\ (y + 3)^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы находим значения $x$ и $y$:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases}$

Мы получили единственную пару действительных чисел $(2, -3)$. Необходимо проверить, является ли эта пара решением исходной системы, подставив значения в оба уравнения.

Проверка для первого уравнения:

$x^2 - 6x - 3y - 1 = (2)^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = -8 + 8 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$y^2 + 2x + 9y + 14 = (-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 13 - 27 + 14 = -14 + 14 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Таким образом, пара чисел $(2, -3)$ является единственным действительным решением данной системы.

Ответ: $(2, -3)$.

Решить систему уравнений (376—377).

376.

$\begin{cases} 2x^2 - xy - y^2 - 10x - 8y - 12 = 0, \\ 2x^2 + 3xy + y^2 + x - y - 6 = 0. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases}2x^2 - xy - y^2 - 10x - 8y - 12 = 0 \quad (1) \\2x^2 + 3xy + y^2 + x - y - 6 = 0 \quad (2)\end{cases}$

Для решения данной системы воспользуемся методом линейной комбинации уравнений. Умножим уравнение (2) на 2, чтобы приравнять свободные члены в обоих уравнениях:

$2 \cdot (2x^2 + 3xy + y^2 + x - y - 6) = 0 \implies 4x^2 + 6xy + 2y^2 + 2x - 2y - 12 = 0 \quad (3)$

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

$(4x^2 + 6xy + 2y^2 + 2x - 2y - 12) - (2x^2 - xy - y^2 - 10x - 8y - 12) = 0$

Упростим получен

377. 1) $\begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 13, \\ xy(x - y) = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4(x^3 + y^3) = 9x^2y^2, \\ 4(x^2 + y^2) = 9x^2y^2 - 8xy. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(x^2 + y^2)(x - y) = 13 \\xy(x - y) = 6\end{cases}$$

Заметим, что если $x - y = 0$, то левые части обоих уравнений равны нулю, а правые — 13 и 6. Это противоречие, следовательно, $x - y \neq 0$.

Поскольку $x - y \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$$ \frac{(x^2 + y^2)(x - y)}{xy(x - y)} = \frac{13}{6} $$

Сократив общий множитель $(x - y)$, получим:

$$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{13}{6} $$

Преобразуем это уравнение:

$6(x^2 + y^2) = 13xy$

$6x^2 - 13xy + 6y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $y=0$, то $6x^2=0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы. Значит, $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$:

$$ 6\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 13\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$6t^2 - 13t + 6 = 0$

Находим дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $t = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$.

Отсюда $t_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $xy(x - y) = 6$:

$$ \left(\frac{3}{2}y\right)y\left(\frac{3}{2}y - y\right) = 6 $$

$$ \frac{3}{2}y^2 \cdot \frac{1}{2}y = 6 $$

$$ \frac{3}{4}y^3 = 6 $$

$$ y^3 = 8 \implies y = 2 $$

Тогда $x = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Получили решение $(3, 2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$, откуда $x = \frac{2}{3}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение $xy(x - y) = 6$:

$$ \left(\frac{2}{3}y\right)y\left(\frac{2}{3}y - y\right) = 6 $$

$$ \frac{2}{3}y^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}y\right) = 6 $$

$$ -\frac{2}{9}y^3 = 6 $$

$$ y^3 = -27 \implies y = -3 $$

Тогда $x = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Получили решение $(-2, -3)$.

Проверка подтверждает, что обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(3, 2)$, $(-2, -3)$.

2) Дана система уравнений:

$$\begin{cases}4(x^3 + y^3) = 9x^2y^2 \\4(x^2 + y^2) = 9x^2y^2 - 8xy\end{cases}$$

Рассмотрим второе уравнение. Перенесем $-8xy$ в левую часть:

$4(x^2 + y^2) + 8xy = 9x^2y^2$

$4x^2 + 4y^2 + 8xy = 9x^2y^2$

$4(x^2 + 2xy + y^2) = 9x^2y^2$

$4(x+y)^2 = 9(xy)^2$

Подставим выражение для $9x^2y^2$ в первое уравнение системы:

$4(x^3 + y^3) = 4(x+y)^2$

Разделим обе части на 4:

$x^3 + y^3 = (x+y)^2$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)^2$

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) - (x+y)^2 = 0$

$(x+y)((x^2 - xy + y^2) - (x+y)) = 0$

Отсюда следует, что либо $x+y=0$, либо $x^2 - xy + y^2 - x - y = 0$.

Случай 1: $x+y=0 \implies y=-x$.

Подставим это в преобразованное ранее уравнение $4(x+y)^2 = 9(xy)^2$:

$4(0)^2 = 9(x(-x))^2$

$0 = 9(-x^2)^2$

$0 = 9x^4 \implies x = 0$.

Если $x=0$, то $y=-0=0$. Получили решение $(0, 0)$. Проверка показывает, что эта пара удовлетворяет исходной системе.

Случай 2: $x^2 - xy + y^2 - x - y = 0$.

Введем замены: $S = x+y$ и $P = xy$.

Выражение $x^2 + y^2$ можно представить как $(x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$.

Тогда уравнение $x^2 - xy + y^2 - (x+y) = 0$ примет вид:

$(S^2 - 2P) - P - S = 0 \implies S^2 - 3P - S = 0$.

Второе уравнение, которое мы используем, это $4(x+y)^2 = 9(xy)^2$, что в новых переменных выглядит так: $4S^2 = 9P^2$.

Из $4S^2 = 9P^2$ следует, что $S^2 = \frac{9}{4}P^2$, или $S = \pm\frac{3}{2}P$.

Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1: $S = \frac{3}{2}P$.

Подставим в уравнение $S^2 - 3P - S = 0$:

$$ \left(\frac{3}{2}P\right)^2 - 3P - \frac{3}{2}P = 0 $$

$$ \frac{9}{4}P^2 - \frac{9}{2}P = 0 $$

$9P^2 - 18P = 0 \implies 9P(P - 2) = 0$.

Отсюда $P=0$ или $P=2$.

Если $P=0$, то $S = \frac{3}{2}(0) = 0$. Система $x+y=0, xy=0$ дает решение $x=0, y=0$, которое мы уже нашли.

Если $P=2$, то $S = \frac{3}{2}(2) = 3$. Система $x+y=3, xy=2$ сводится к квадратному уравнению $t^2 - 3t + 2 = 0$. Его корни $t_1=1, t_2=2$. Это дает два решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Подслучай 2.2: $S = -\frac{3}{2}P$.

Подставим в уравнение $S^2 - 3P - S = 0$:

$$ \left(-\frac{3}{2}P\right)^2 - 3P - \left(-\frac{3}{2}P\right) = 0 $$

$$ \frac{9}{4}P^2 - \frac{3}{2}P = 0 $$

$9P^2 - 6P = 0 \implies 3P(3P - 2) = 0$.

Отсюда $P=0$ или $P=\frac{2}{3}$.

Если $P=0$, то $S=0$, что снова дает решение $(0,0)$.

Если $P=\frac{2}{3}$, то $S = -\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right) = -1$. Система $x+y=-1, xy=\frac{2}{3}$ сводится к уравнению $t^2 + t + \frac{2}{3} = 0$ или $3t^2+3t+2=0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(3)(2) = 9 - 24 = -15 < 0$. Действительных решений в этом случае нет.

Собрав все найденные действительные решения, получаем:

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$.