Номер 377, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

377. 1) $\begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 13, \\ xy(x - y) = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4(x^3 + y^3) = 9x^2y^2, \\ 4(x^2 + y^2) = 9x^2y^2 - 8xy. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(x^2 + y^2)(x - y) = 13 \\xy(x - y) = 6\end{cases}$$

Заметим, что если $x - y = 0$, то левые части обоих уравнений равны нулю, а правые — 13 и 6. Это противоречие, следовательно, $x - y \neq 0$.

Поскольку $x - y \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$$ \frac{(x^2 + y^2)(x - y)}{xy(x - y)} = \frac{13}{6} $$

Сократив общий множитель $(x - y)$, получим:

$$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{13}{6} $$

Преобразуем это уравнение:

$6(x^2 + y^2) = 13xy$

$6x^2 - 13xy + 6y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $y=0$, то $6x^2=0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы. Значит, $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$:

$$ 6\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 13\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$6t^2 - 13t + 6 = 0$

Находим дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $t = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$.

Отсюда $t_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $xy(x - y) = 6$:

$$ \left(\frac{3}{2}y\right)y\left(\frac{3}{2}y - y\right) = 6 $$

$$ \frac{3}{2}y^2 \cdot \frac{1}{2}y = 6 $$

$$ \frac{3}{4}y^3 = 6 $$

$$ y^3 = 8 \implies y = 2 $$

Тогда $x = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Получили решение $(3, 2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$, откуда $x = \frac{2}{3}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение $xy(x - y) = 6$:

$$ \left(\frac{2}{3}y\right)y\left(\frac{2}{3}y - y\right) = 6 $$

$$ \frac{2}{3}y^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}y\right) = 6 $$

$$ -\frac{2}{9}y^3 = 6 $$

$$ y^3 = -27 \implies y = -3 $$

Тогда $x = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Получили решение $(-2, -3)$.

Проверка подтверждает, что обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(3, 2)$, $(-2, -3)$.

2) Дана система уравнений:

$$\begin{cases}4(x^3 + y^3) = 9x^2y^2 \\4(x^2 + y^2) = 9x^2y^2 - 8xy\end{cases}$$

Рассмотрим второе уравнение. Перенесем $-8xy$ в левую часть:

$4(x^2 + y^2) + 8xy = 9x^2y^2$

$4x^2 + 4y^2 + 8xy = 9x^2y^2$

$4(x^2 + 2xy + y^2) = 9x^2y^2$

$4(x+y)^2 = 9(xy)^2$

Подставим выражение для $9x^2y^2$ в первое уравнение системы:

$4(x^3 + y^3) = 4(x+y)^2$

Разделим обе части на 4:

$x^3 + y^3 = (x+y)^2$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)^2$

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) - (x+y)^2 = 0$

$(x+y)((x^2 - xy + y^2) - (x+y)) = 0$

Отсюда следует, что либо $x+y=0$, либо $x^2 - xy + y^2 - x - y = 0$.

Случай 1: $x+y=0 \implies y=-x$.

Подставим это в преобразованное ранее уравнение $4(x+y)^2 = 9(xy)^2$:

$4(0)^2 = 9(x(-x))^2$

$0 = 9(-x^2)^2$

$0 = 9x^4 \implies x = 0$.

Если $x=0$, то $y=-0=0$. Получили решение $(0, 0)$. Проверка показывает, что эта пара удовлетворяет исходной системе.

Случай 2: $x^2 - xy + y^2 - x - y = 0$.

Введем замены: $S = x+y$ и $P = xy$.

Выражение $x^2 + y^2$ можно представить как $(x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$.

Тогда уравнение $x^2 - xy + y^2 - (x+y) = 0$ примет вид:

$(S^2 - 2P) - P - S = 0 \implies S^2 - 3P - S = 0$.

Второе уравнение, которое мы используем, это $4(x+y)^2 = 9(xy)^2$, что в новых переменных выглядит так: $4S^2 = 9P^2$.

Из $4S^2 = 9P^2$ следует, что $S^2 = \frac{9}{4}P^2$, или $S = \pm\frac{3}{2}P$.

Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1: $S = \frac{3}{2}P$.

Подставим в уравнение $S^2 - 3P - S = 0$:

$$ \left(\frac{3}{2}P\right)^2 - 3P - \frac{3}{2}P = 0 $$

$$ \frac{9}{4}P^2 - \frac{9}{2}P = 0 $$

$9P^2 - 18P = 0 \implies 9P(P - 2) = 0$.

Отсюда $P=0$ или $P=2$.

Если $P=0$, то $S = \frac{3}{2}(0) = 0$. Система $x+y=0, xy=0$ дает решение $x=0, y=0$, которое мы уже нашли.

Если $P=2$, то $S = \frac{3}{2}(2) = 3$. Система $x+y=3, xy=2$ сводится к квадратному уравнению $t^2 - 3t + 2 = 0$. Его корни $t_1=1, t_2=2$. Это дает два решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Подслучай 2.2: $S = -\frac{3}{2}P$.

Подставим в уравнение $S^2 - 3P - S = 0$:

$$ \left(-\frac{3}{2}P\right)^2 - 3P - \left(-\frac{3}{2}P\right) = 0 $$

$$ \frac{9}{4}P^2 - \frac{3}{2}P = 0 $$

$9P^2 - 6P = 0 \implies 3P(3P - 2) = 0$.

Отсюда $P=0$ или $P=\frac{2}{3}$.

Если $P=0$, то $S=0$, что снова дает решение $(0,0)$.

Если $P=\frac{2}{3}$, то $S = -\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right) = -1$. Система $x+y=-1, xy=\frac{2}{3}$ сводится к уравнению $t^2 + t + \frac{2}{3} = 0$ или $3t^2+3t+2=0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(3)(2) = 9 - 24 = -15 < 0$. Действительных решений в этом случае нет.

Собрав все найденные действительные решения, получаем:

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$.