Номер 370, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

370. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней $216 м^3$ древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала $8 м^3$ сверх плана, поэтому за день до срока было заготовлено $232 м^3$ древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада заготавливать по плану?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

1. Составление математической модели

Пусть $x$ м³/день – плановая норма заготовки древесины.
Тогда плановое время для заготовки 216 м³ древесины составляет $t_{план} = \frac{216}{x}$ дней.

По условию, первые 3 дня бригада работала по плану. Объем заготовленной за это время древесины составляет $3x$ м³.

Затем бригада стала заготавливать на 8 м³ в день больше плана, то есть ее производительность стала $(x+8)$ м³/день.

Работа была выполнена за день до планового срока, то есть фактическое время работы составило $t_{факт} = t_{план} - 1 = \frac{216}{x} - 1$ дней.

Количество дней, в течение которых бригада работала с повышенной производительностью, равно:
$t_{повыш} = t_{факт} - 3 = \left(\frac{216}{x} - 1\right) - 3 = \frac{216}{x} - 4$ дней.

Объем древесины, заготовленный за эти дни, равен $(x+8) \cdot \left(\frac{216}{x} - 4\right)$ м³.

Общий объем заготовленной древесины составил 232 м³. Можем составить уравнение, сложив объемы, заготовленные в разные периоды:
$3x + (x+8) \cdot \left(\frac{216}{x} - 4\right) = 232$

2. Решение уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3x + x \cdot \frac{216}{x} - 4x + 8 \cdot \frac{216}{x} - 8 \cdot 4 = 232$
$3x + 216 - 4x + \frac{1728}{x} - 32 = 232$

Приведем подобные слагаемые:
$-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232$

Перенесем все члены, не содержащие $x$, в правую часть:
$-x + \frac{1728}{x} = 232 - 184$
$-x + \frac{1728}{x} = 48$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$, что соответствует условию задачи), чтобы избавиться от знаменателя:
$-x^2 + 1728 = 48x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 48x - 1728 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216$
$\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$

$x_1 = \frac{-48 + 96}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{-48 - 96}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как норма заготовки древесины ($x$) не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x=24$.

3. Проверка

Плановая норма — 24 м³/день.
Плановое время на заготовку 216 м³: $216 / 24 = 9$ дней.
Фактическое время работы: $9 - 1 = 8$ дней.
За первые 3 дня заготовлено: $3 \cdot 24 = 72$ м³.
Осталось работать: $8 - 3 = 5$ дней.
Производительность в эти 5 дней: $24 + 8 = 32$ м³/день.
Заготовлено за эти 5 дней: $5 \cdot 32 = 160$ м³.
Всего заготовлено: $72 + 160 = 232$ м³.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: бригада должна была заготавливать по плану 24 кубических метра древесины в день.