Номер 374, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

374. Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между пунктами А и В. Через 42 мин после начала движения произошла их первая встреча, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль впервые окажутся одновременно в пункте А?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами А и В.
• $v_а$ — скорость автобуса.
• $v_м$ — скорость автомобиля.
• $t_1 = 42$ мин — время до первой встречи.
• $t_2 = 2$ ч $34$ мин $= 120 + 34 = 154$ мин — время до первого обгона.

1. Анализ первой встречи.

Автобус и автомобиль начинают движение одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В соответственно. Их первая встреча происходит через $t_1 = 42$ минуты. За это время суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами А и В.
$v_а \cdot t_1 + v_м \cdot t_1 = S$
$(v_а + v_м) \cdot 42 = S$

2. Анализ первого обгона.

Первый обгон происходит через $t_2 = 154$ минуты после начала движения. Обгон означает, что автомобиль и автобус находятся в одной точке и движутся в одном направлении. Поскольку автомобиль стартовал из пункта В, а автобус из пункта А, для обгона автомобиль должен был доехать до пункта А, развернуться и догнать автобус, который в это время движется из А в В.
За время $t_2$ автобус проехал расстояние $S_а = v_а \cdot t_2$.
Автомобиль за это же время проехал расстояние $S_м = v_м \cdot t_2$. Чтобы догнать автобус, автомобиль преодолел все расстояние $S$ от В до А, а затем проехал то же расстояние, что и автобус от пункта А. Таким образом, расстояние, пройденное автомобилем, на $S$ больше расстояния, пройденного автобусом.
$S_м = S_а + S$
$v_м \cdot t_2 = v_а \cdot t_2 + S$
$S = (v_м - v_а) \cdot 154$

3. Нахождение соотношения скоростей.

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $(v_а + v_м) \cdot 42 = S$
2) $(v_м - v_а) \cdot 154 = S$
Приравняем левые части:
$(v_а + v_м) \cdot 42 = (v_м - v_а) \cdot 154$
Разделим обе части уравнения на 14 (общий делитель чисел 42 и 154):
$3 \cdot (v_а + v_м) = 11 \cdot (v_м - v_а)$
$3v_а + 3v_м = 11v_м - 11v_а$
$14v_а = 8v_м$
$7v_а = 4v_м$
Отсюда находим соотношение скоростей: $v_м = \frac{7}{4}v_а$.

4. Расчет времени в пути.

Найдем время, за которое автобус и автомобиль проезжают расстояние $S$. Обозначим это время как $T_а$ и $T_м$ соответственно.
$T_а = \frac{S}{v_а}$ и $T_м = \frac{S}{v_м}$.
Подставим выражение для $v_м$ в первое уравнение:
$S = (v_а + \frac{7}{4}v_а) \cdot 42 = \frac{11}{4}v_а \cdot 42 = \frac{462}{4}v_а = \frac{231}{2}v_а = 115.5 v_а$.
Тогда время, за которое автобус проезжает расстояние от А до В, равно:
$T_а = \frac{S}{v_а} = 115.5$ минут.
Время, за которое автомобиль проезжает расстояние от А до В, равно:
$T_м = \frac{S}{v_м} = \frac{S}{\frac{7}{4}v_а} = \frac{4}{7} \cdot \frac{S}{v_а} = \frac{4}{7} T_а = \frac{4}{7} \cdot 115.5 = 66$ минут.

5. Нахождение времени одновременного прибытия в пункт А.

Автобус стартует из пункта А. Он возвращается в пункт А после каждого полного круга (А-В-А). Время одного полного круга для автобуса составляет $2 \cdot T_а = 2 \cdot 115.5 = 231$ минуту. Таким образом, автобус будет в пункте А в моменты времени $t = 231 \cdot k$ минут, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).
Автомобиль стартует из пункта В. Впервые он прибывает в пункт А через время $T_м = 66$ минут. Затем он будет возвращаться в пункт А после каждого полного круга (В-А-В), время которого составляет $2 \cdot T_м = 2 \cdot 66 = 132$ минуты. Таким образом, автомобиль будет в пункте А в моменты времени $t = 66 + 132 \cdot n$ минут, где $n$ — целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, ...$).
Чтобы найти, когда они впервые окажутся в пункте А одновременно (после начала движения), нужно найти наименьшее положительное $t$, для которого выполняются оба условия. Приравняем выражения для времени:
$231 \cdot k = 66 + 132 \cdot n$ (где $k>0, n \ge 0$)
Разделим уравнение на их наибольший общий делитель, который равен 33:
$7k = 2 + 4n$
Нам нужно найти наименьшее натуральное $k$, для которого $n$ будет целым неотрицательным числом.
При $k=1$: $7 = 2 + 4n \Rightarrow 4n = 5 \Rightarrow n = 5/4$ (не целое).
При $k=2$: $14 = 2 + 4n \Rightarrow 4n = 12 \Rightarrow n = 3$ (целое).
Наименьшее подходящее значение $k=2$.
Теперь вычислим время $t$:
$t = 231 \cdot k = 231 \cdot 2 = 462$ минуты.
Переведем это время в часы и минуты:
$462 \text{ мин} = 7 \cdot 60 + 42 = 7$ часов 42 минуты.

Ответ: Автобус и автомобиль впервые окажутся одновременно в пункте А через 462 минуты, или 7 часов 42 минуты после начала движения.