Номер 373, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

373. Из пунктов $A$ и $B$ выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от $B$, а в момент прибытия мотоциклиста в $B$ велосипедист находился на расстоянии 15 км от $A$. Определить расстояние от $A$ до $B$.

Обозначим искомое расстояние от А до В как $S$ км. Пусть $v_m$ — скорость мотоциклиста (ехавшего из А), а $v_v$ — скорость велосипедиста (ехавшего из В).

Этап 1: Движение до встречи.
Мотоциклист и велосипедист встретились на расстоянии 4 км от пункта В. Это значит, что к моменту встречи велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист — оставшуюся часть пути, равную $S - 4$ км.Поскольку они выехали одновременно, время до встречи ($t_1$) для них одинаково.
Время для мотоциклиста: $t_1 = \frac{S - 4}{v_m}$.
Время для велосипедиста: $t_1 = \frac{4}{v_v}$.
Приравнивая эти выражения, получаем соотношение их скоростей:$\frac{S - 4}{v_m} = \frac{4}{v_v} \implies \frac{v_m}{v_v} = \frac{S - 4}{4}$.

Этап 2: Движение до прибытия мотоциклиста в В.
Мотоциклист проехал все расстояние $S$ от А до В. Время, которое он на это затратил ($t_2$), равно $t_2 = \frac{S}{v_m}$.За это же время $t_2$ велосипедист, выехавший из В, находился на расстоянии 15 км от А. Это означает, что он проехал расстояние $S - 15$ км от своего начального пункта В.Время движения велосипедиста также равно $t_2$: $t_2 = \frac{S - 15}{v_v}$.
Приравнивая выражения для $t_2$, получаем второе соотношение скоростей:$\frac{S}{v_m} = \frac{S - 15}{v_v} \implies \frac{v_m}{v_v} = \frac{S}{S - 15}$.

Этап 3: Решение уравнения.
Мы получили два разных выражения для одного и того же отношения скоростей $\frac{v_m}{v_v}$. Приравняем их друг к другу:
$\frac{S - 4}{4} = \frac{S}{S - 15}$.
Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(S - 4)(S - 15) = 4S$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$S^2 - 15S - 4S + 60 = 4S$
$S^2 - 19S + 60 = 4S$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$S^2 - 19S - 4S + 60 = 0$
$S^2 - 23S + 60 = 0$.

Этап 4: Нахождение корней и проверка.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 529 - 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем два возможных корня для $S$:
$S_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$.
$S_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Теперь необходимо проверить, какой из корней соответствует условиям задачи.
1. Если $S = 3$ км, то это противоречит условию, что встреча произошла в 4 км от пункта В, так как место встречи не может быть дальше, чем всё расстояние. Также это противоречит тому, что велосипедист оказался в 15 км от А. Следовательно, этот корень не является решением задачи.
2. Если $S = 20$ км, все условия выполняются: встреча в 4 км от В возможна ($4 < 20$), и положение велосипедиста в 15 км от А также возможно ($15 < 20$).
Следовательно, расстояние от А до В составляет 20 км.
Ответ: 20 км.