Номер 379, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

379. Выполнить деление:

1) $(15x^5 + 6x^4 - 20x^2 - 8x) : (3x^3 - 4);$

2) $(12x^5 - 9x^4 + 8x^2 - 6x) : (4x^2 - 3x);$

3) $(x^5 + 1) : (x + 1);$ 4) $(x^6 - 1) : (x - 1).$

1) Для выполнения деления $(15x^5 + 6x^4 - 20x^2 - 8x) : (3x^3 - 4)$, разложим делимое на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(15x^5 - 20x^2) + (6x^4 - 8x)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $5x^2(3x^3 - 4) + 2x(3x^3 - 4)$. Теперь вынесем общий множитель $(3x^3 - 4)$ за скобки: $(5x^2 + 2x)(3x^3 - 4)$. Таким образом, частное от деления равно $\frac{(5x^2 + 2x)(3x^3 - 4)}{3x^3 - 4} = 5x^2 + 2x$. Ответ: $5x^2 + 2x$.

2) Для выполнения деления $(12x^5 - 9x^4 + 8x^2 - 6x) : (4x^2 - 3x)$ разложим делимое на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые в делимом: $(12x^5 + 8x^2) - (9x^4 + 6x)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $4x^2(3x^3 + 2) - 3x(3x^3 + 2)$. Теперь вынесем общий множитель $(3x^3 + 2)$: $(4x^2 - 3x)(3x^3 + 2)$. Таким образом, деление можно записать как $\frac{(4x^2 - 3x)(3x^3 + 2)}{4x^2 - 3x}$. Сократив дробь, получаем $3x^3 + 2$. Ответ: $3x^3 + 2$.

3) Для выполнения деления $(x^5 + 1) : (x + 1)$ воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$ для нечетного $n$. В данном случае $a=x$, $b=1$, $n=5$. Применяем формулу: $x^5 + 1^5 = (x + 1)(x^4 - x^3 \cdot 1^1 + x^2 \cdot 1^2 - x^1 \cdot 1^3 + 1^4) = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$. Следовательно, результатом деления $(x^5 + 1)$ на $(x + 1)$ будет многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Ответ: $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$.

4) Для выполнения деления $(x^6 - 1) : (x - 1)$ воспользуемся формулой разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$. В данном случае $a=x$, $b=1$, $n=6$. Применяем формулу: $x^6 - 1^6 = (x - 1)(x^5 \cdot 1^0 + x^4 \cdot 1^1 + x^3 \cdot 1^2 + x^2 \cdot 1^3 + x^1 \cdot 1^4 + 1^5) = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$. Следовательно, результатом деления $(x^6 - 1)$ на $(x - 1)$ будет многочлен $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. Ответ: $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.