Номер 383, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

383. Проверить, что $x_1=1$ — корень уравнения $x^3-(1-\sqrt{5})x^2-(1+\sqrt{5})x+1=0$. Найти остальные корни этого уравнения.

Проверить, что $x_1=1$ — корень уравнения $x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1 = 0$

Для проверки подставим значение $x_1 = 1$ в левую часть уравнения:

$1^3 - (1 - \sqrt{5}) \cdot 1^2 - (1 + \sqrt{5}) \cdot 1 + 1$

Выполним вычисления, раскрывая скобки:

$1 - (1 - \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{5}) + 1 = 1 - 1 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} + 1$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(1 - 1 - 1 + 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$

Так как левая часть уравнения обратилась в нуль, то есть стала равной правой части ($0=0$), то $x_1 = 1$ действительно является корнем данного уравнения.

Ответ: Проверка подтвердила, что $x_1=1$ является корнем уравнения.

Найти остальные корни этого уравнения

Поскольку $x_1 = 1$ является корнем уравнения, то многочлен $x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1$ делится на двучлен $(x - 1)$ без остатка. Выполнив деление многочлена на $(x-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), мы можем понизить степень уравнения.

$(x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1) : (x - 1) = x^2 + \sqrt{5}x - 1$

Следовательно, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 1)(x^2 + \sqrt{5}x - 1) = 0$

Остальные корни уравнения являются решениями квадратного уравнения:

$x^2 + \sqrt{5}x - 1 = 0$

Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Найдем дискриминант:

$D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 + 4 = 9$

Теперь найдем корни $x_2$ и $x_3$:

$x_2 = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{5} + 3}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x_3 = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{5} - 3}{2} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Ответ: остальные корни уравнения: $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.