Номер 386, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

386. Найти действительные корни уравнения:

1) $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4 = 0$;

2) $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0$;

3) $x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 2x + 6 = 0$;

4) $x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x + 8 = 0$.

1) $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни многочлена $P(x) = 9x^3 + 12x^2 - 10x + 4$ имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (9).

Делители $p$: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Делители $q$: $1, 3, 9$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{2}{9}, \pm\frac{4}{9}$.

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

При $x = -2$: $P(-2) = 9(-2)^3 + 12(-2)^2 - 10(-2) + 4 = 9(-8) + 12(4) + 20 + 4 = -72 + 48 + 20 + 4 = 0$.

Значит, $x = -2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4$ на двучлен $(x+2)$ с помощью схемы Горнера или деления в столбик.

Деление дает в частном многочлен $9x^2 - 6x + 2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x+2)(9x^2 - 6x + 2) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $9x^2 - 6x + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 36 - 72 = -36$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их подстановкой в уравнение $P(x) = x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6$:

При $x = 2$: $P(2) = 2^4 + 2^3 - 5(2)^2 + 2 - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0$.

При $x = -3$: $P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 - 5(-3)^2 + (-3) - 6 = 81 - 27 - 45 - 3 - 6 = 0$.

Мы нашли два корня: $x=2$ и $x=-3$. Значит, многочлен делится на $(x-2)$ и $(x+3)$, а следовательно, и на их произведение $(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$.

Выполним деление многочлена $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6$ на $x^2 + x - 6$. Можно заметить, что $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = (x^4 + x^3 - 6x^2) + (x^2 + x - 6) = x^2(x^2 + x - 6) + 1(x^2 + x - 6) = (x^2+1)(x^2+x-6)$.

Итак, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x-2)(x+3)(x^2+1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями являются $x=2$ и $x=-3$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$.

3) $x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 2x + 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^5 + 3x^4) + (2x^3 + 6x^2) + (2x + 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 3) + 2x^2(x + 3) + 2(x + 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^4 + 2x^2 + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

2. $x^4 + 2x^2 + 2 = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, и уравнение $x^4 + 2x^2 + 2 = 0$ не имеет действительных корней (так как для любого действительного $x$ выражение $x^4 + 2x^2 + 2$ строго положительно).

Единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=-3$.

Ответ: $x = -3$.

4) $x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^5 - 2x^4) - (3x^3 - 6x^2) - (4x - 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x - 2) - 3x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

2. $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1=4$ и $y_2=-1$.

Вернемся к замене $x^2 = y$:

а) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.

б) $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Объединяя все найденные действительные корни, получаем $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.