Страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

378. Дорога от пункта A до пункта B идёт на подъём, а от пункта B до пункта C имеет спуск. Пешеход затрачивает $t$ ч на путь от A до C и $\frac{t}{2}$ ч на обратный путь. Найти скорость пешехода на подъёме, если его скорость на спуске на $a$ км/ч больше, чем на подъёме, а расстояние от A до C равно $s$ км.

Обозначим искомое значение скорости пешехода на подъёме как $v_п$ (в км/ч).Исходя из условия задачи, скорость пешехода на спуске будет $v_с = v_п + a$.Пусть расстояние от пункта A до пункта B (подъём) равно $s_1$ км, а расстояние от пункта B до пункта C (спуск) равно $s_2$ км.Общее расстояние от A до C составляет $s = s_1 + s_2$ км.

Составим уравнения на основе времени, затраченного на путь в каждом направлении.

1. Время на путь от A до C:Пешеход проходит участок AB ($s_1$) с подъёмом и участок BC ($s_2$) со спуском.Время в пути равно $t$.$$ t_{AC} = \frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с} = t $$

2. Время на обратный путь от C до A:На обратном пути участок CB ($s_2$) становится подъёмом, а участок BA ($s_1$) — спуском.Время в пути равно $\frac{t}{2}$.$$ t_{CA} = \frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с} = \frac{t}{2} $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$ \begin{cases} \frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с} = t \\ \frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с} = \frac{t}{2} \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:$$ \left(\frac{s_1}{v_п} + \frac{s_2}{v_с}\right) + \left(\frac{s_2}{v_п} + \frac{s_1}{v_с}\right) = t + \frac{t}{2} $$$$ \frac{s_1 + s_2}{v_п} + \frac{s_1 + s_2}{v_с} = \frac{3t}{2} $$

Поскольку $s_1 + s_2 = s$, мы можем заменить сумму расстояний:$$ \frac{s}{v_п} + \frac{s}{v_с} = \frac{3t}{2} $$

Подставим в это уравнение выражение для скорости на спуске $v_с = v_п + a$:$$ \frac{s}{v_п} + \frac{s}{v_п + a} = \frac{3t}{2} $$

Приведём левую часть к общему знаменателю:$$ s \cdot \left(\frac{v_п + a + v_п}{v_п(v_п + a)}\right) = \frac{3t}{2} $$$$ s \cdot \frac{2v_п + a}{v_п^2 + a \cdot v_п} = \frac{3t}{2} $$

Используем правило пропорции для преобразования уравнения:$$ 2s(2v_п + a) = 3t(v_п^2 + a \cdot v_п) $$$$ 4sv_п + 2sa = 3tv_п^2 + 3tav_п $$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v_п$:$$ 3tv_п^2 + (3ta - 4s)v_п - 2sa = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней $v_п = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где:$A = 3t$$B = 3ta - 4s$$C = -2sa$

Найдём дискриминант $D = B^2 - 4AC$:$$ D = (3ta - 4s)^2 - 4(3t)(-2sa) = (9t^2a^2 - 24tas + 16s^2) + 24tsa $$$$ D = 9t^2a^2 + 16s^2 $$

Теперь найдём корни уравнения для $v_п$:$$ v_п = \frac{-(3ta - 4s) \pm \sqrt{9t^2a^2 + 16s^2}}{2 \cdot 3t} $$$$ v_п = \frac{4s - 3ta \pm \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}}{6t} $$

Поскольку скорость $v_п$ не может быть отрицательной, мы должны выбрать знак, который даст положительный результат. Значения $s, t, a$ по условию задачи положительны.Рассмотрим корень со знаком «минус». Величина под корнем $\sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}$ больше, чем $\sqrt{16s^2} = 4s$ и чем $\sqrt{9t^2a^2}=3ta$. Также можно показать, что $\sqrt{16s^2 + 9t^2a^2} > |4s - 3ta|$. Следовательно, выражение $4s - 3ta - \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}$ всегда будет отрицательным. Этот корень не имеет физического смысла в данной задаче.

Поэтому мы выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: Скорость пешехода на подъёме равна $ \frac{4s - 3ta + \sqrt{16s^2 + 9t^2a^2}}{6t} $ км/ч.

379. Выполнить деление:

1) $(15x^5 + 6x^4 - 20x^2 - 8x) : (3x^3 - 4);$

2) $(12x^5 - 9x^4 + 8x^2 - 6x) : (4x^2 - 3x);$

3) $(x^5 + 1) : (x + 1);$ 4) $(x^6 - 1) : (x - 1).$

1) Для выполнения деления $(15x^5 + 6x^4 - 20x^2 - 8x) : (3x^3 - 4)$, разложим делимое на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(15x^5 - 20x^2) + (6x^4 - 8x)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $5x^2(3x^3 - 4) + 2x(3x^3 - 4)$. Теперь вынесем общий множитель $(3x^3 - 4)$ за скобки: $(5x^2 + 2x)(3x^3 - 4)$. Таким образом, частное от деления равно $\frac{(5x^2 + 2x)(3x^3 - 4)}{3x^3 - 4} = 5x^2 + 2x$. Ответ: $5x^2 + 2x$.

2) Для выполнения деления $(12x^5 - 9x^4 + 8x^2 - 6x) : (4x^2 - 3x)$ разложим делимое на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые в делимом: $(12x^5 + 8x^2) - (9x^4 + 6x)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $4x^2(3x^3 + 2) - 3x(3x^3 + 2)$. Теперь вынесем общий множитель $(3x^3 + 2)$: $(4x^2 - 3x)(3x^3 + 2)$. Таким образом, деление можно записать как $\frac{(4x^2 - 3x)(3x^3 + 2)}{4x^2 - 3x}$. Сократив дробь, получаем $3x^3 + 2$. Ответ: $3x^3 + 2$.

3) Для выполнения деления $(x^5 + 1) : (x + 1)$ воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$ для нечетного $n$. В данном случае $a=x$, $b=1$, $n=5$. Применяем формулу: $x^5 + 1^5 = (x + 1)(x^4 - x^3 \cdot 1^1 + x^2 \cdot 1^2 - x^1 \cdot 1^3 + 1^4) = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$. Следовательно, результатом деления $(x^5 + 1)$ на $(x + 1)$ будет многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Ответ: $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$.

4) Для выполнения деления $(x^6 - 1) : (x - 1)$ воспользуемся формулой разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$. В данном случае $a=x$, $b=1$, $n=6$. Применяем формулу: $x^6 - 1^6 = (x - 1)(x^5 \cdot 1^0 + x^4 \cdot 1^1 + x^3 \cdot 1^2 + x^2 \cdot 1^3 + x^1 \cdot 1^4 + 1^5) = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$. Следовательно, результатом деления $(x^6 - 1)$ на $(x - 1)$ будет многочлен $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. Ответ: $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

380. Найти частное $M(x)$ и остаток $R(x)$ от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x):

1) $P(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$, $Q(x) = 2x^2 + x - 1$;

2) $P(x) = x^3 - 3x^2$, $Q(x) = 2x^2 + 5$;

3) $P(x) = 3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7$, $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4x$;

4) $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x$, $Q(x) = x^2 + x + 1$.

1) Для нахождения частного $M(x)$ и остатка $R(x)$ от деления многочлена $P(x) = 4x^3 + 3x^2 - 1$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + x - 1$, выполним деление многочленов "уголком". Для удобства в делимом $P(x)$ запишем член с $x$ с нулевым коэффициентом: $P(x) = 4x^3 + 3x^2 + 0x - 1$.

Первый шаг деления: делим старший член $P(x)$ на старший член $Q(x)$, чтобы найти первый член частного $M(x)$: $\frac{4x^3}{2x^2} = 2x$.

Умножаем $2x$ на $Q(x)$: $2x \cdot (2x^2 + x - 1) = 4x^3 + 2x^2 - 2x$.

Вычитаем полученный многочлен из $P(x)$: $(4x^3 + 3x^2 + 0x - 1) - (4x^3 + 2x^2 - 2x) = x^2 + 2x - 1$.

Второй шаг деления: делим старший член нового многочлена ($x^2$) на старший член $Q(x)$: $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$.

Умножаем $\frac{1}{2}$ на $Q(x)$: $\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + x - 1) = x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Вычитаем полученный многочлен из $x^2 + 2x - 1$: $(x^2 + 2x - 1) - (x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$.

Степень полученного многочлена $\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ равна 1, что меньше степени делителя $Q(x)$ (равной 2). Следовательно, это и есть остаток $R(x)$. Частное $M(x)$ состоит из членов, найденных на каждом шаге.

Ответ: $M(x) = 2x + \frac{1}{2}$, $R(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) Разделим многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2$ на многочлен $Q(x) = 2x^2 + 5$. Запишем $P(x)$, добавив недостающие члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = x^3 - 3x^2 + 0x + 0$.

Первый член частного: $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $\frac{1}{2}x \cdot Q(x)$: $(x^3 - 3x^2) - \frac{1}{2}x(2x^2 + 5) = (x^3 - 3x^2) - (x^3 + \frac{5}{2}x) = -3x^2 - \frac{5}{2}x$.

Второй член частного: $\frac{-3x^2}{2x^2} = -\frac{3}{2}$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $(-\frac{3}{2}) \cdot Q(x)$: $(-3x^2 - \frac{5}{2}x) - (-\frac{3}{2})(2x^2 + 5) = (-3x^2 - \frac{5}{2}x) - (-3x^2 - \frac{15}{2}) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$.

Степень полученного многочлена $R(x) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$ меньше степени $Q(x)$, поэтому это остаток. Частное $M(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Ответ: $M(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, $R(x) = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$.

3) Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7$ на многочлен $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4x$.

Первый член частного: $\frac{3x^4}{x^3} = 3x$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $3x \cdot Q(x)$: $(3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7) - 3x(x^3 + 2x^2 - 4x) = (3x^4 + 7x^3 - 22x^2 - x - 7) - (3x^4 + 6x^3 - 12x^2) = x^3 - 10x^2 - x - 7$.

Второй член частного: $\frac{x^3}{x^3} = 1$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $1 \cdot Q(x)$: $(x^3 - 10x^2 - x - 7) - (x^3 + 2x^2 - 4x) = -12x^2 + 3x - 7$.

Степень полученного многочлена $R(x) = -12x^2 + 3x - 7$ (равна 2) меньше степени $Q(x)$ (равной 3), поэтому это остаток. Частное $M(x) = 3x + 1$.

Ответ: $M(x) = 3x + 1$, $R(x) = -12x^2 + 3x - 7$.

4) Разделим многочлен $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - x$ на многочлен $Q(x) = x^2 + x + 1$. Запишем $P(x)$, добавив недостающие члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x + 0$.

Первый член частного: $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2$.

Вычитаем из $P(x)$ произведение $2x^2 \cdot Q(x)$: $(2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x) - 2x^2(x^2 + x + 1) = (2x^4 + 3x^3 + 0x^2 - x) - (2x^4 + 2x^3 + 2x^2) = x^3 - 2x^2 - x$.

Второй член частного: $\frac{x^3}{x^2} = x$.

Вычитаем из промежуточного остатка произведение $x \cdot Q(x)$: $(x^3 - 2x^2 - x) - x(x^2 + x + 1) = (x^3 - 2x^2 - x) - (x^3 + x^2 + x) = -3x^2 - 2x$.

Третий член частного: $\frac{-3x^2}{x^2} = -3$.

Вычитаем из нового остатка произведение $(-3) \cdot Q(x)$: $(-3x^2 - 2x) - (-3)(x^2 + x + 1) = (-3x^2 - 2x) - (-3x^2 - 3x - 3) = x + 3$.

Степень полученного многочлена $R(x) = x + 3$ (равна 1) меньше степени $Q(x)$ (равной 2), поэтому это остаток. Частное $M(x) = 2x^2 + x - 3$.

Ответ: $M(x) = 2x^2 + x - 3$, $R(x) = x + 3$.

381. Убедившись в том, что $x_1 = -2$ — корень уравнения $x^3 - 4x^2 - 5x + 14 = 0$, найти остальные корни этого уравнения.

Убедившись в том, что $x_1 = -2$ — корень уравнения

Для начала проверим, действительно ли $x_1 = -2$ является корнем кубического уравнения $x^3 - 4x^2 - 5x + 14 = 0$. Для этого подставим значение $x = -2$ в левую часть уравнения:

$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 5(-2) + 14 = -8 - 4(4) + 10 + 14 = -8 - 16 + 10 + 14 = -24 + 24 = 0$.

Так как в результате подстановки мы получили верное равенство $0 = 0$, то $x_1 = -2$ действительно является корнем данного уравнения.

Найти остальные корни этого уравнения

Поскольку $x_1 = -2$ является корнем многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 - 5x + 14$, то по теореме Безу этот многочлен делится без остатка на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x - (-2)) = (x + 2)$. Выполним деление многочлена на двучлен (например, по схеме Горнера или делением в столбик).

Результатом деления $(x^3 - 4x^2 - 5x + 14) : (x + 2)$ будет квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 7$.

Таким образом, исходное уравнение можно разложить на множители:

$(x + 2)(x^2 - 6x + 7) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Корень $x_1 = -2$ мы получаем из первого множителя $(x + 2 = 0)$. Остальные корни уравнения являются решениями квадратного уравнения:

$x^2 - 6x + 7 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Следовательно, остальные корни уравнения:

$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

$x_3 = 3 + \sqrt{2}$

Ответ: $3 - \sqrt{2}$, $3 + \sqrt{2}$.

382. Проверить, что $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$ корни уравнения $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8 = 0$. Найти остальные корни этого уравнения.

Проверить, что $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$ – корни уравнения $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8 = 0$.

Чтобы проверить, являются ли данные числа корнями уравнения, мы подставим их значения в левую часть уравнения и проверим, обращается ли она в ноль.

1. Проверка для $x_1=1$:

$6 \cdot (1)^4 - 11 \cdot (1)^3 - 13 \cdot (1)^2 + 10 \cdot (1) + 8 = 6 - 11 - 13 + 10 + 8 = (6+10+8) - (11+13) = 24 - 24 = 0$.

Получено верное равенство $0=0$, следовательно, $x_1=1$ действительно является корнем уравнения.

2. Проверка для $x_2=-\frac{2}{3}$:

$6 \cdot (-\frac{2}{3})^4 - 11 \cdot (-\frac{2}{3})^3 - 13 \cdot (-\frac{2}{3})^2 + 10 \cdot (-\frac{2}{3}) + 8 =$

$= 6 \cdot \frac{16}{81} - 11 \cdot (-\frac{8}{27}) - 13 \cdot \frac{4}{9} - \frac{20}{3} + 8 = \frac{32}{27} + \frac{88}{27} - \frac{52}{9} - \frac{20}{3} + 8$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 27:

$\frac{32}{27} + \frac{88}{27} - \frac{52 \cdot 3}{27} - \frac{20 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27} = \frac{32 + 88 - 156 - 180 + 216}{27} = \frac{336 - 336}{27} = 0$.

Получено верное равенство $0=0$, следовательно, $x_2=-\frac{2}{3}$ также является корнем уравнения.

Найти остальные корни этого уравнения.

Поскольку $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$ являются корнями многочлена $P(x) = 6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8$, то по теореме Безу он делится нацело на двучлены $(x-1)$ и $(x+\frac{2}{3})$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится и на их произведение. Для удобства вычислений вместо $(x+\frac{2}{3})$ возьмем пропорциональный ему двучлен $(3x+2)$. Таким образом, $P(x)$ должен делиться на $(x-1)(3x+2) = 3x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена $6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8$ на $3x^2 - x - 2$ (например, "уголком"):

$(6x^4 - 11x^3 - 13x^2 + 10x + 8) \div (3x^2 - x - 2) = 2x^2 - 3x - 4$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(3x^2 - x - 2)(2x^2 - 3x - 4) = 0$.

Корни первого множителя нам известны: $x_1=1$ и $x_2=-\frac{2}{3}$. Остальные корни уравнения найдем, решив квадратное уравнение:

$2x^2 - 3x - 4 = 0$.

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Ответ: Остальные корни уравнения: $x_3 = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ и $x_4 = \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$.

383. Проверить, что $x_1=1$ — корень уравнения $x^3-(1-\sqrt{5})x^2-(1+\sqrt{5})x+1=0$. Найти остальные корни этого уравнения.

Проверить, что $x_1=1$ — корень уравнения $x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1 = 0$

Для проверки подставим значение $x_1 = 1$ в левую часть уравнения:

$1^3 - (1 - \sqrt{5}) \cdot 1^2 - (1 + \sqrt{5}) \cdot 1 + 1$

Выполним вычисления, раскрывая скобки:

$1 - (1 - \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{5}) + 1 = 1 - 1 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} + 1$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(1 - 1 - 1 + 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$

Так как левая часть уравнения обратилась в нуль, то есть стала равной правой части ($0=0$), то $x_1 = 1$ действительно является корнем данного уравнения.

Ответ: Проверка подтвердила, что $x_1=1$ является корнем уравнения.

Найти остальные корни этого уравнения

Поскольку $x_1 = 1$ является корнем уравнения, то многочлен $x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1$ делится на двучлен $(x - 1)$ без остатка. Выполнив деление многочлена на $(x-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), мы можем понизить степень уравнения.

$(x^3 - (1 - \sqrt{5})x^2 - (1 + \sqrt{5})x + 1) : (x - 1) = x^2 + \sqrt{5}x - 1$

Следовательно, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 1)(x^2 + \sqrt{5}x - 1) = 0$

Остальные корни уравнения являются решениями квадратного уравнения:

$x^2 + \sqrt{5}x - 1 = 0$

Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Найдем дискриминант:

$D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 + 4 = 9$

Теперь найдем корни $x_2$ и $x_3$:

$x_2 = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{5} + 3}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x_3 = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{5} - 3}{2} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Ответ: остальные корни уравнения: $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

384. Число $x_1 = -3$ является корнем уравнения $x^3 + ax^2 + 5x - 3 = 0$. Найти $a$ и остальные корни этого уравнения.

Найти a

Поскольку число $x_1 = -3$ является корнем уравнения $x^3 + ax^2 + 5x - 3 = 0$, то при подстановке этого значения вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Подставим $x = -3$ в уравнение:

$(-3)^3 + a \cdot (-3)^2 + 5 \cdot (-3) - 3 = 0$

Выполним вычисления:

$-27 + a \cdot 9 - 15 - 3 = 0$

$-27 + 9a - 18 = 0$

$9a - 45 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$9a = 45$

$a = \frac{45}{9}$

$a = 5$

Ответ: $a = 5$.

и остальные корни этого уравнения

Теперь, зная, что $a=5$, мы можем записать исходное уравнение в следующем виде:

$x^3 + 5x^2 + 5x - 3 = 0$

Так как $x_1 = -3$ является корнем этого уравнения, то многочлен $x^3 + 5x^2 + 5x - 3$ делится на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x+3)$, без остатка. Выполнив деление многочленов (например, столбиком или по схеме Горнера), получим:

$(x^3 + 5x^2 + 5x - 3) : (x+3) = x^2 + 2x - 1$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x+3)(x^2 + 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Корень $x_1 = -3$ мы уже знаем из первого множителя $(x+3=0)$. Остальные корни найдем, решив квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 1 = 0$

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Теперь найдем корни $x_{2,3}$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Отсюда получаем два других корня:

$x_2 = -1 + \sqrt{2}$

$x_3 = -1 - \sqrt{2}$

Ответ: $x_2 = -1 + \sqrt{2}$, $x_3 = -1 - \sqrt{2}$.

385. Числа $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$, где $a$ и $b$ — рациональные числа. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Дано уравнение $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$, где $a$ и $b$ — рациональные числа. Поскольку $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ является корнем этого уравнения с рациональными коэффициентами, то и сопряженное ему число $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ также является корнем.

Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ подставим корень $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ в исходное уравнение: $(1 + \sqrt{3})^3 + a(1 + \sqrt{3})^2 + b(1 + \sqrt{3}) - 2 = 0$.

Вычислим значения степеней в этом выражении: $(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$. $(1 + \sqrt{3})^3 = (1 + \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 10 + 6\sqrt{3}$.

Подставив эти результаты в уравнение, получим: $(10 + 6\sqrt{3}) + a(4 + 2\sqrt{3}) + b(1 + \sqrt{3}) - 2 = 0$.

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $\sqrt{3}$, и слагаемые без него (рациональные части): $(10 + 4a + b - 2) + (6\sqrt{3} + 2a\sqrt{3} + b\sqrt{3}) = 0$ $(8 + 4a + b) + (6 + 2a + b)\sqrt{3} = 0$.

Поскольку $a$ и $b$ — рациональные числа, а $\sqrt{3}$ — иррациональное, данное равенство может выполняться только в том случае, если оба выражения в скобках равны нулю. Это дает нам систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 4a + b + 8 = 0 \\ 2a + b + 6 = 0 \end{cases} $

Решим полученную систему уравнений. Один из способов — вычесть второе уравнение из первого: $(4a + b + 8) - (2a + b + 6) = 0$ $2a + 2 = 0$ $2a = -2$ $a = -1$.

Ответ: $a=-1$.

Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $2(-1) + b + 6 = 0$ $-2 + b + 6 = 0$ $b + 4 = 0$ $b = -4$.

Ответ: $b=-4$.

После нахождения коэффициентов $a$ и $b$ уравнение принимает вид: $x^3 - x^2 - 4x - 2 = 0$. Для нахождения третьего корня, который мы обозначим $x_3$, воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней кубического уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ равно $-c$.

В нашем случае произведение корней $x_1x_2x_3 = -(-2) = 2$.

Мы знаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$. Найдем их произведение: $x_1x_2 = (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

Подставим это значение в формулу для произведения всех трех корней: $(-2) \cdot x_3 = 2$. Отсюда $x_3 = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: Третий корень равен $-1$.

386. Найти действительные корни уравнения:

1) $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4 = 0$;

2) $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0$;

3) $x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 2x + 6 = 0$;

4) $x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x + 8 = 0$.

1) $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни многочлена $P(x) = 9x^3 + 12x^2 - 10x + 4$ имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (9).

Делители $p$: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Делители $q$: $1, 3, 9$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{2}{9}, \pm\frac{4}{9}$.

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

При $x = -2$: $P(-2) = 9(-2)^3 + 12(-2)^2 - 10(-2) + 4 = 9(-8) + 12(4) + 20 + 4 = -72 + 48 + 20 + 4 = 0$.

Значит, $x = -2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4$ на двучлен $(x+2)$ с помощью схемы Горнера или деления в столбик.

Деление дает в частном многочлен $9x^2 - 6x + 2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x+2)(9x^2 - 6x + 2) = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $9x^2 - 6x + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 36 - 72 = -36$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их подстановкой в уравнение $P(x) = x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6$:

При $x = 2$: $P(2) = 2^4 + 2^3 - 5(2)^2 + 2 - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0$.

При $x = -3$: $P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 - 5(-3)^2 + (-3) - 6 = 81 - 27 - 45 - 3 - 6 = 0$.

Мы нашли два корня: $x=2$ и $x=-3$. Значит, многочлен делится на $(x-2)$ и $(x+3)$, а следовательно, и на их произведение $(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$.

Выполним деление многочлена $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6$ на $x^2 + x - 6$. Можно заметить, что $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = (x^4 + x^3 - 6x^2) + (x^2 + x - 6) = x^2(x^2 + x - 6) + 1(x^2 + x - 6) = (x^2+1)(x^2+x-6)$.

Итак, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x-2)(x+3)(x^2+1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями являются $x=2$ и $x=-3$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$.

3) $x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 2x + 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^5 + 3x^4) + (2x^3 + 6x^2) + (2x + 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 3) + 2x^2(x + 3) + 2(x + 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^4 + 2x^2 + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

2. $x^4 + 2x^2 + 2 = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, и уравнение $x^4 + 2x^2 + 2 = 0$ не имеет действительных корней (так как для любого действительного $x$ выражение $x^4 + 2x^2 + 2$ строго положительно).

Единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=-3$.

Ответ: $x = -3$.

4) $x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^5 - 2x^4) - (3x^3 - 6x^2) - (4x - 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x - 2) - 3x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

2. $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1=4$ и $y_2=-1$.

Вернемся к замене $x^2 = y$:

а) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.

б) $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Объединяя все найденные действительные корни, получаем $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

387. Уравнение $ax^3 - 2x^2 - 5x + b = 0$ имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Дано уравнение $ax^3 - 2x^2 - 5x + b = 0$ и два его корня: $x_1=1$ и $x_2=-2$. Необходимо найти коэффициенты $a$, $b$ и третий корень уравнения $x_3$.

Нахождение коэффициентов a и b

Поскольку $x_1=1$ и $x_2=-2$ являются корнями уравнения, они должны обращать его в верное равенство при подстановке.

1. Подставим корень $x_1=1$ в уравнение:

$a(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + b = 0$

$a - 2 - 5 + b = 0$

$a + b = 7$

Это наше первое уравнение для нахождения $a$ и $b$.

2. Подставим корень $x_2=-2$ в уравнение:

$a(-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + b = 0$

$a(-8) - 2(4) + 10 + b = 0$

$-8a - 8 + 10 + b = 0$

$-8a + b = -2$

Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 7 \\ -8a + b = -2 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого:

$(a + b) - (-8a + b) = 7 - (-2)$

$a + b + 8a - b = 9$

$9a = 9$

$a = 1$

Подставим найденное значение $a=1$ в первое уравнение системы ($a+b=7$):

$1 + b = 7$

$b = 6$

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов.

Ответ: $a=1$, $b=6$.

Нахождение третьего корня

После подстановки найденных коэффициентов $a=1$ и $b=6$ исходное уравнение принимает вид:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

Для нахождения третьего корня $x_3$ можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения. Для уравнения вида $x^3+px^2+qx+r=0$ сумма корней равна $x_1+x_2+x_3 = -p$.

В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен -2, следовательно, $p=-2$. Сумма корней равна:

$x_1 + x_2 + x_3 = -(-2) = 2$

Мы знаем два корня: $x_1=1$ и $x_2=-2$. Подставим их в формулу суммы корней:

$1 + (-2) + x_3 = 2$

$-1 + x_3 = 2$

$x_3 = 2 + 1$

$x_3 = 3$

Мы нашли третий корень уравнения.

Ответ: Третий корень уравнения равен 3.

388. Уравнение $x^3 - 9x^2 + ax + b = 0$ имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Поскольку $x_1=1$ и $x_2=5$ являются корнями уравнения $x^3 - 9x^2 + ax + b = 0$, они должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения этих корней в уравнение, чтобы составить систему уравнений и найти неизвестные коэффициенты $a$ и $b$.

1. Подстановка корня $x=1$:

$(1)^3 - 9(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 9 + a + b = 0$

$a + b = 8$

2. Подстановка корня $x=5$:

$(5)^3 - 9(5)^2 + a(5) + b = 0$

$125 - 9(25) + 5a + b = 0$

$125 - 225 + 5a + b = 0$

$5a + b = 100$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 8 \\ 5a + b = 100 \end{cases}$

Решим эту систему.

Найти a

Вычтем первое уравнение системы из второго, чтобы найти $a$:

$(5a + b) - (a + b) = 100 - 8$

$4a = 92$

$a = \frac{92}{4}$

$a = 23$

Ответ: $a = 23$.

Найти b

Теперь подставим найденное значение $a=23$ в первое уравнение системы $a+b=8$:

$23 + b = 8$

$b = 8 - 23$

$b = -15$

Ответ: $b = -15$.

Найти третий корень этого уравнения

Теперь, когда известны коэффициенты $a=23$ и $b=-15$, исходное уравнение имеет вид: $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$.

Для нахождения третьего корня (обозначим его $x_3$) можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно теореме Виета, сумма корней кубического уравнения $x^3+p x^2+q x+r=0$ равна $-p$.

В нашем случае сумма корней равна:

$x_1 + x_2 + x_3 = -(-9) = 9$

Подставим известные значения корней $x_1=1$ и $x_2=5$:

$1 + 5 + x_3 = 9$

$6 + x_3 = 9$

$x_3 = 9 - 6$

$x_3 = 3$

Ответ: третий корень уравнения равен 3.

Решить уравнение (389–390).

389. 1) $ \frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2+9}{x^2-1} $;

2) $ \frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6+7x-3x^2} $

1) $\frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2+9}{x^2-1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Знаменатель в правой части $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, поэтому ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{3x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{7(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x^2+9}{x^2-1}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2-1)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:

$3x^2(x+1) - 7(x-1) = 5x^2+9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^3 + 3x^2 - 7x + 7 = 5x^2 + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^3 + 3x^2 - 5x^2 - 7x + 7 - 9 = 0$

$3x^3 - 2x^2 - 7x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти его рациональные корни среди делителей свободного члена (-2), деленных на делители старшего коэффициента (3): $\pm 1, \pm 2, \pm 1/3, \pm 2/3$.

Подставим $x=2$: $3(2)^3 - 2(2)^2 - 7(2) - 2 = 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 - 14 - 2 = 24 - 8 - 14 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Разделим многочлен $3x^3 - 2x^2 - 7x - 2$ на двучлен $(x-2)$ и получим $3x^2 + 4x + 1$.

Уравнение примет вид:

$(x-2)(3x^2 + 4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы нашли: $x_1 = 2$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 4x + 1 = 0$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2}{6}$

$x_2 = \frac{-4+2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_3 = \frac{-4-2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Проверим найденные корни по ОДЗ ($x \neq \pm 1$). Корень $x_3 = -1$ является посторонним. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1/3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-1/3$.

2) $\frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6+7x-3x^2}$

Сначала разложим на множители знаменатель дроби в правой части уравнения: $-3x^2+7x+6$. Для этого найдем корни уравнения $3x^2-7x-6=0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{7+11}{6} = 3$, $x_2 = \frac{7-11}{6} = -\frac{2}{3}$

Тогда $-3x^2+7x+6 = -3(x-3)(x+2/3) = -(x-3)(3x+2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{-(x-3)(3x+2)}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $3x+2 \neq 0 \implies x \neq -2/3$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(3x+2)$ с учетом ОДЗ:

$(1-x)(3x+2) - 2x(x-3) = -4$

Раскроем скобки:

$3x+2-3x^2-2x - (2x^2-6x) = -4$

$-3x^2+x+2 - 2x^2+6x = -4$

Приведем подобные члены:

$-5x^2+7x+2 = -4$

$-5x^2+7x+6 = 0$

Умножим на -1:

$5x^2-7x-6=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

$x_1 = \frac{7+13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{7-13}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Оба корня $x=2$ и $x=-3/5$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-3/5$.

390. 1) $(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = 0;$

2) $(x^2 - x - 3)(x^2 - x - 2) = 12;$

3) $(x^2 + x)^2 + (3x - 1)x^2 + 5x(x - 1) = 6;$

4) $x^2(x^2 - 5) - 2x(x^2 - 4) + 4 = 0;$

5) $(x^2 - 2x)^2 - 4x(x^2 + 2) + 4(10x - 1) = 7x^2;$

6) $(x^2 - 2)^2 + x(x - 1)(x + 1) = 1.$

1) $(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = 0$
Вынесем -2 за скобки в третьем и четвертом членах:
$(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0$
Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2 + 2x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
Случай 1: $x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Случай 2: $x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x_3 = -1$.
Объединяем корни, полученные в обоих случаях.
Ответ: -3; -1; 1.

2) $(x^2 - x - 3)(x^2 - x - 2) = 12$
Заметим, что в обеих скобках есть одинаковое выражение $x^2 - x$. Сделаем замену.
Пусть $t = x^2 - x$. Уравнение примет вид:
$(t - 3)(t - 2) = 12$
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:
$t^2 - 2t - 3t + 6 = 12$
$t^2 - 5t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Следовательно, $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $x^2 - x = 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Случай 2: $x^2 - x = -1$
$x^2 - x + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: -2; 3.

3) $(x^2 + x)^2 + (3x - 1)x^2 + 5x(x - 1) = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x^4 + 2x^3 + x^2) + (3x^3 - x^2) + (5x^2 - 5x) - 6 = 0$
$x^4 + (2x^3 + 3x^3) + (x^2 - x^2 + 5x^2) - 5x - 6 = 0$
$x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 = 0$
Это уравнение четвертой степени. Найдем его целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Пусть $P(x) = x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6$.
$P(1) = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
$P(-1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем.
$P(-2) = (-2)^4 + 5(-2)^3 + 5(-2)^2 - 5(-2) - 6 = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0$. Значит, $x=-2$ является корнем.
$P(-3) = (-3)^4 + 5(-3)^3 + 5(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0$. Значит, $x=-3$ является корнем.
Мы нашли 4 корня для уравнения четвертой степени, значит, это все его корни.
Ответ: -3; -2; -1; 1.

4) $x^2(x^2 - 5) - 2x(x^2 - 4) + 4 = 0$
Раскроем скобки:
$x^4 - 5x^2 - 2x^3 + 8x + 4 = 0$
Перегруппируем слагаемые в стандартном порядке:
$x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$
Сгруппируем слагаемые иначе для разложения на множители:
$(x^4 - 5x^2 + 4) - (2x^3 - 8x) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 - 4) - 2x(x^2 - 4) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$ за скобку:
$(x^2 - 4)(x^2 - 1 - 2x) = 0$
$(x^2 - 4)(x^2 - 2x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Случай 2: $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Ответ: -2; 2; $1 - \sqrt{2}$; $1 + \sqrt{2}$.

5) $(x^2 - 2x)^2 - 4x(x^2 + 2) + 4(10x - 1) = 7x^2$
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (4x^3 + 8x) + (40x - 4) - 7x^2 = 0$
$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^3 - 8x + 40x - 4 - 7x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 32x - 4 = 0$
Целые корни ищем среди делителей свободного члена (-4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
$P(2) = 2^4 - 8(2^3) - 3(2^2) + 32(2) - 4 = 16 - 64 - 12 + 64 - 4 = 0$. Корень $x=2$.
$P(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^3 - 3(-2)^2 + 32(-2) - 4 = 16 + 64 - 12 - 64 - 4 = 0$. Корень $x=-2$.
Так как $x=2$ и $x=-2$ являются корнями, многочлен делится на $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$.
Выполним деление многочлена $(x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 32x - 4)$ на $(x^2 - 4)$ и получим $x^2 - 8x + 1$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 4)(x^2 - 8x + 1) = 0$.
Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Случай 2: $x^2 - 8x + 1 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$.
$x = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.
Ответ: -2; 2; $4 - \sqrt{15}$; $4 + \sqrt{15}$.

6) $(x^2 - 2)^2 + x(x - 1)(x + 1) = 1$
Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(x^2 - 2)^2 + x(x^2 - 1) = 1$
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:
$(x^4 - 4x^2 + 4) + (x^3 - x) - 1 = 0$
$x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 3 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.
$P(1) = 1 + 1 - 4 - 1 + 3 = 0$. Корень $x=1$.
$P(-1) = 1 - 1 - 4 + 1 + 3 = 0$. Корень $x=-1$.
Так как $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен делится на $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.
Выполним деление многочлена $(x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 3)$ на $(x^2 - 1)$ и получим $x^2 + x - 3$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 1)(x^2 + x - 3) = 0$.
Случай 1: $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Случай 2: $x^2 + x - 3 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: -1; 1; $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$; $\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.

391. Найти действительные корни уравнения:

1) $\frac{x^2}{x+2} - \frac{2x^2(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6}$;

2) $\frac{2x^3}{x+2} + \frac{x^2}{x-1} = \frac{8x^2-7x+2}{x^2+x-2}$;

3) $\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1}$;

4) $\frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = \frac{18x}{2+x-x^2}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+2} - \frac{2x^2(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6} $.

При решении этого уравнения в исходном виде получается кубическое уравнение, не имеющее рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — во втором слагаемом вместо $2x^2(x-2)$ должно быть $2x(x-2)$. Решим исправленный вариант уравнения:

$ \frac{x^2}{x+2} - \frac{2x(x-2)}{x-3} = \frac{3x^2+19x+6}{x^2-x-6} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x^2-x-6 = (x-3)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ и } x \neq -2$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$ \frac{x^2(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{2x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{3x^2+19x+6}{(x+2)(x-3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-3)$, поскольку $x \neq -2$ и $x \neq 3$:

$x^2(x-3) - 2x(x-2)(x+2) = 3x^2+19x+6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^3 - 3x^2 - 2x(x^2-4) = 3x^2+19x+6$

$x^3 - 3x^2 - 2x^3 + 8x = 3x^2+19x+6$

$-x^3 - 3x^2 + 8x = 3x^2+19x+6$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^3 - 6x^2 - 11x - 6 = 0$

$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.

Значит, $x=-1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ на $(x+1)$:

$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2+5x+6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, мы получили три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$, $x_3 = -3$.

Сравним корни с ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 3$). Корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.

Действительными корнями уравнения являются $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: -3; -1.

2)

$ \frac{2x^3}{x+2} + \frac{x^2}{x-1} = \frac{8x^2-7x+2}{x^2+x-2} $

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Знаменатель правой части $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$.

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$ и умножим на него обе части:

$2x^3(x-1) + x^2(x+2) = 8x^2-7x+2$

Раскроем скобки:

$2x^4 - 2x^3 + x^3 + 2x^2 = 8x^2-7x+2$

$2x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x^2 + 7x - 2 = 0$

$2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0$

Проверим целые и дробные рациональные корни. Проверим $x=1$ (хотя он не входит в ОДЗ):

$2(1)^4 - (1)^3 - 6(1)^2 + 7(1) - 2 = 2-1-6+7-2 = 0$.

$x=1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2) : (x-1) = 2x^3+x^2-5x+2$

Решим кубическое уравнение $2x^3+x^2-5x+2 = 0$. Снова проверим корень $x=1$:

$2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2+1-5+2 = 0$.

$x=1$ — снова корень. Разделим $2x^3+x^2-5x+2$ на $(x-1)$:

$(2x^3+x^2-5x+2) : (x-1) = 2x^2+3x-2$

Решим квадратное уравнение $2x^2+3x-2=0$:

$D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Корни многочлена: $1$ (кратности 2), $1/2$ и $-2$.

Проверим по ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 1$). Корни $x=1$ и $x=-2$ являются посторонними.

Единственный действительный корень уравнения — $x=1/2$.

Ответ: 1/2.

3)

$ \frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1} $

ОДЗ: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$; $3x-1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$. Знаменатель правой части $6x^2+x-1 = (2x+1)(3x-1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1/2, 1/3\}$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(2x+1)(3x-1)$:

$(2x^3+1)(3x-1) + 3x^2(2x+1) = 15x^3$

Раскроем скобки:

$6x^4 - 2x^3 + 3x - 1 + 6x^3 + 3x^2 = 15x^3$

$6x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 15x^3$

$6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$

Найдем рациональные корни. Проверим $x=1$:

$6(1)^4 - 11(1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 6-11+3+3-1 = 0$.

$x=1$ — корень. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1) : (x-1) = 6x^3 - 5x^2 - 2x + 1$

Решим кубическое уравнение $6x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = 0$. Проверим $x=1$ еще раз:

$6(1)^3 - 5(1)^2 - 2(1) + 1 = 6-5-2+1=0$.

$x=1$ — снова корень. Разделим $6x^3 - 5x^2 - 2x + 1$ на $(x-1)$:

$(6x^3 - 5x^2 - 2x + 1) : (x-1) = 6x^2+x-1$

Решим квадратное уравнение $6x^2+x-1=0$. Его корни мы уже находили при определении ОДЗ: $x_1=1/3$ и $x_2=-1/2$.

Корни многочлена: $1$ (кратности 2), $1/3$ и $-1/2$.

Проверим по ОДЗ ($x \neq -1/2, x \neq 1/3$). Корни $x=1/3$ и $x=-1/2$ являются посторонними.

Единственный действительный корень — $x=1$.

Ответ: 1.

4)

$ \frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = \frac{18x}{2+x-x^2} $

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Знаменатель правой части $2+x-x^2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1)$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$.

Перепишем уравнение:

$ \frac{6x^3}{x+1} - \frac{5x^2-17x+2}{x-2} = -\frac{18x}{(x-2)(x+1)} $

Умножим обе части на общий знаменатель $(x+1)(x-2)$:

$6x^3(x-2) - (5x^2-17x+2)(x+1) = -18x$

Раскроем скобки:

$6x^4 - 12x^3 - (5x^3 + 5x^2 - 17x^2 - 17x + 2x + 2) = -18x$

$6x^4 - 12x^3 - (5x^3 - 12x^2 - 15x + 2) = -18x$

$6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 15x - 2 = -18x$

$6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 33x - 2 = 0$

Проверим рациональные корни. Проверим $x=-1$ (не входит в ОДЗ):

$6(-1)^4 - 17(-1)^3 + 12(-1)^2 + 33(-1) - 2 = 6 + 17 + 12 - 33 - 2 = 35 - 35 = 0$.

$x=-1$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $(x+1)$:

$(6x^4 - 17x^3 + 12x^2 + 33x - 2) : (x+1) = 6x^3 - 23x^2 + 35x - 2$

Теперь нужно решить кубическое уравнение $6x^3 - 23x^2 + 35x - 2 = 0$.

Проверка возможных рациональных корней ($\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$) показывает, что ни один из них не подходит.

Например, $Q(1/3) = 6(1/27) - 23(1/9) + 35/3 - 2 = 2/9 - 23/9 + 105/9 - 18/9 = 66/9 \neq 0$.

Производная этого кубического многочлена $Q'(x) = 18x^2 - 46x + 35$ всегда положительна (ее дискриминант отрицателен), следовательно, функция $Q(x)$ монотонно возрастает и имеет только один действительный корень. Этот корень является иррациональным. Его приближенное значение $x \approx 0.058$.

Поскольку в задачах такого типа обычно предполагаются рациональные решения, можно предположить, что в условии задачи имеется опечатка. В исходном виде уравнение имеет один иррациональный корень.

Ответ: уравнение сводится к кубическому уравнению $6x^3 - 23x^2 + 35x - 2 = 0$, которое имеет один действительный иррациональный корень.

392. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - xy = 0, \\ y^2 + 3xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ x^2 + y^2 = 5y; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy + x - 3y = 3, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - xy = 0 \\ y^2 + 3xy = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения $x - xy = 0$ вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях: либо $x = 0$, либо $1 - y = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ во второе уравнение системы:

$y^2 + 3 \cdot 0 \cdot y = 4$

$y^2 = 4$

Отсюда получаем $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Таким образом, мы получили два решения: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Случай 2: $1 - y = 0$, то есть $y = 1$.

Подставим $y = 1$ во второе уравнение системы:

$1^2 + 3x \cdot 1 = 4$

$1 + 3x = 4$

$3x = 3$

$x = 1$

Таким образом, мы получили еще одно решение: $(1, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три пары чисел.

Ответ: $(0, 2)$, $(0, -2)$, $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x^2 + y^2 = 5y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Подставим выражение $y = x^2$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (x^2)^2 = 5(x^2)$

Заменим $x^2$ на $y$:

$y + y^2 = 5y$

$y^2 - 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 4$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим это значение в уравнение $y = x^2$:

$x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Получили решение $(0, 0)$.

Случай 2: $y = 4$.

Подставим это значение в уравнение $y = x^2$:

$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Получили еще два решения: $(2, 4)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy + x - 3y = 3 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение:

$xy + x - 3y - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$x(y + 1) - 3(y + 1) = 0$

$(x - 3)(y + 1) = 0$

Это уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Подставим $x = 3$ во второе уравнение системы:

$3^2 + y^2 = 10$

$9 + y^2 = 10$

$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1