Страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

402. При дальномерном методе локации из трёх пунктов $A$, $B$ и $C$ определяют соответствующие дальности $a$, $b$ и $c$ до цели $M$. Найти координаты $x$, $y$ и $z$ ($z > 0$) точки $M$ в некоторой прямоугольной системе координат в пространстве, если $a = 60$, $b = 60$, $c = 51$, а координаты точек $A$, $B$ и $C$ следующие: $A(0; 0; 0)$, $B(12; 0; 0)$, $C(6; 18; 0)$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$. По условию задачи, координата $z$ должна быть положительной ($z > 0$).

В задаче даны координаты трех точек: $A(0; 0; 0)$, $B(12; 0; 0)$, и $C(6; 18; 0)$.

Также известны расстояния (дальности) от этих точек до цели $M$: $a = AM = 60$, $b = BM = 60$, $c = CM = 51$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Используя эту формулу, составим систему из трех уравнений на основе данных расстояний:

1. Для точки $A$: $AM^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 60^2$, что дает $x^2 + y^2 + z^2 = 3600$.

2. Для точки $B$: $BM^2 = (x-12)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 60^2$, что дает $(x-12)^2 + y^2 + z^2 = 3600$.

3. Для точки $C$: $CM^2 = (x-6)^2 + (y-18)^2 + (z-0)^2 = 51^2$, что дает $(x-6)^2 + (y-18)^2 + z^2 = 2601$.

Сначала найдем координату $x$. Правые части первого и второго уравнений равны, следовательно, равны и их левые части:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-12)^2 + y^2 + z^2$

Вычтем из обеих частей $y^2 + z^2$:

$x^2 = (x-12)^2$

Раскроем скобки в правой части: $x^2 = x^2 - 24x + 144$.

Упростив, получим: $0 = -24x + 144$, откуда $24x = 144$ и $x = \frac{144}{24} = 6$.

Теперь, зная $x=6$, подставим это значение в первое и третье уравнения исходной системы, чтобы найти $y$ и $z$.

Подстановка в первое уравнение: $6^2 + y^2 + z^2 = 3600 \implies 36 + y^2 + z^2 = 3600 \implies y^2 + z^2 = 3564$.

Подстановка в третье уравнение: $(6-6)^2 + (y-18)^2 + z^2 = 2601 \implies 0 + (y-18)^2 + z^2 = 2601 \implies (y-18)^2 + z^2 = 2601$.

Мы получили новую систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y^2 + z^2 = 3564 \\ (y-18)^2 + z^2 = 2601 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $z^2$:

$y^2 - (y-18)^2 = 3564 - 2601$

$y^2 - (y^2 - 36y + 324) = 963$

$y^2 - y^2 + 36y - 324 = 963$

$36y = 963 + 324 \implies 36y = 1287$

Отсюда находим $y$: $y = \frac{1287}{36} = \frac{143}{4} = 35.75$.

Осталось найти $z$. Подставим найденное значение $y$ в уравнение $y^2 + z^2 = 3564$:

$(\frac{143}{4})^2 + z^2 = 3564$

$\frac{20449}{16} + z^2 = 3564$

$z^2 = 3564 - \frac{20449}{16} = \frac{3564 \cdot 16 - 20449}{16} = \frac{57024 - 20449}{16} = \frac{36575}{16}$

По условию $z > 0$, поэтому извлекаем положительный квадратный корень:

$z = \sqrt{\frac{36575}{16}} = \frac{\sqrt{36575}}{4}$.

Число под корнем можно упростить, заметив, что $36575 = 25 \cdot 1463$.

$z = \frac{\sqrt{25 \cdot 1463}}{4} = \frac{5\sqrt{1463}}{4}$.

Таким образом, искомые координаты точки $M$ это $(6; \frac{143}{4}; \frac{5\sqrt{1463}}{4})$.

Ответ: $M(6; \frac{143}{4}; \frac{5\sqrt{1463}}{4})$.

403. Каждый килограмм сена, соломы и силоса содержит соответственно 0,41, 0,19 и 0,16 кормовой единицы (одна кормовая единица по питательности равна 1 кг овса среднего качества). Сено и солома содержат по 85% сухого вещества, а силос — 28%. Определить норму выдачи корове сена, соломы и силоса, если она должна с этими кормами получить 17,5 кг сухого вещества и 7,4 кормовой единицы. Сено и солому в корм добавляют в равных количествах.

Для решения задачи необходимо составить и решить систему линейных уравнений. Введем переменные:

- пусть $x$ – это масса сена в килограммах (кг);
- пусть $y$ – это масса соломы в кг;
- пусть $z$ – это масса силоса в кг.

Исходя из условий задачи, сформулируем уравнения.

1. Условие о количестве сена и соломы.
В задаче сказано, что "сено и солому в корм добавляют в равных количествах". Это означает, что их массы равны:
$x = y$

2. Условие о сухом веществе.
Общее количество сухого вещества, которое должна получить корова, составляет 17,5 кг. Содержание сухого вещества в сене – 85% (0,85), в соломе – 85% (0,85), в силосе – 28% (0,28). Составим уравнение по сухому веществу:
$0,85x + 0,85y + 0,28z = 17,5$

3. Условие о кормовых единицах.
Общее количество кормовых единиц должно быть равно 7,4. Содержание кормовых единиц на 1 кг: сено – 0,41, солома – 0,19, силос – 0,16. Составим уравнение по кормовым единицам:
$0,41x + 0,19y + 0,16z = 7,4$

Таким образом, мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $ \begin{cases} x = y \\ 0,85x + 0,85y + 0,28z = 17,5 \\ 0,41x + 0,19y + 0,16z = 7,4 \end{cases} $

Подставим первое уравнение ($x=y$) во второе и третье уравнения, чтобы упростить систему:

Во втором уравнении: $0,85x + 0,85x + 0,28z = 17,5$
$1,7x + 0,28z = 17,5$

В третьем уравнении: $0,41x + 0,19x + 0,16z = 7,4$
$0,6x + 0,16z = 7,4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 1,7x + 0,28z = 17,5 \\ 0,6x + 0,16z = 7,4 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 1,75, чтобы коэффициенты при $z$ стали одинаковыми ($0,16 \cdot 1,75 = 0,28$): $1,75 \cdot (0,6x + 0,16z) = 1,75 \cdot 7,4$
$1,05x + 0,28z = 12,95$

Теперь вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы: $(1,7x + 0,28z) - (1,05x + 0,28z) = 17,5 - 12,95$
$0,65x = 4,55$
$x = \frac{4,55}{0,65} = 7$

Мы нашли массу сена: $x = 7$ кг.

Так как $x = y$, то масса соломы также равна 7 кг: $y = 7$ кг.

Теперь найдем массу силоса $z$, подставив значение $x = 7$ во второе упрощенное уравнение ($0,6x + 0,16z = 7,4$): $0,6 \cdot 7 + 0,16z = 7,4$
$4,2 + 0,16z = 7,4$
$0,16z = 7,4 - 4,2$
$0,16z = 3,2$
$z = \frac{3,2}{0,16} = 20$

Масса силоса составляет $z = 20$ кг.

Проведем проверку:
Сухое вещество: $0,85 \cdot 7 + 0,85 \cdot 7 + 0,28 \cdot 20 = 5,95 + 5,95 + 5,6 = 17,5$ кг (верно).
Кормовые единицы: $0,41 \cdot 7 + 0,19 \cdot 7 + 0,16 \cdot 20 = 2,87 + 1,33 + 3,2 = 7,4$ (верно).

Ответ: норма выдачи корове составляет 7 кг сена, 7 кг соломы и 20 кг силоса.

404. Имеются два куска сплава серебра с медью. Один из них содержит $p\%$ меди, другой — $q\%$ меди. В каком соотношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий $r\%$ меди, где $p < r < q$?

Пусть для получения нового сплава взяли $m_1$ единиц массы первого сплава и $m_2$ единиц массы второго сплава. Требуется найти соотношение $\frac{m_1}{m_2}$.

Масса меди в первом взятом куске составляет $p\%$ от его массы, то есть $\frac{p}{100} \cdot m_1$.

Масса меди во втором взятом куске составляет $q\%$ от его массы, то есть $\frac{q}{100} \cdot m_2$.

Общая масса нового сплава будет равна сумме масс взятых кусков: $m_1 + m_2$.

Общая масса меди в новом сплаве равна сумме масс меди из двух кусков: $\frac{p}{100} \cdot m_1 + \frac{q}{100} \cdot m_2$.

По условию, в новом сплаве содержание меди должно быть равно $r\%$. Значит, масса меди в нем составляет $r\%$ от его общей массы: $\frac{r}{100} \cdot (m_1 + m_2)$.

Приравняем два выражения для массы меди в новом сплаве:
$\frac{p}{100} \cdot m_1 + \frac{q}{100} \cdot m_2 = \frac{r}{100} \cdot (m_1 + m_2)$

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы упростить его:
$p \cdot m_1 + q \cdot m_2 = r \cdot (m_1 + m_2)$

Раскроем скобки в правой части:
$p \cdot m_1 + q \cdot m_2 = r \cdot m_1 + r \cdot m_2$

Сгруппируем слагаемые с $m_1$ в одной части уравнения, а с $m_2$ — в другой:
$q \cdot m_2 - r \cdot m_2 = r \cdot m_1 - p \cdot m_1$

Вынесем $m_1$ и $m_2$ за скобки:
$m_2(q - r) = m_1(r - p)$

Из этого уравнения выразим искомое соотношение $\frac{m_1}{m_2}$:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{q - r}{r - p}$

Поскольку по условию $p < r < q$, то обе разности $(q - r)$ и $(r - p)$ являются положительными числами, что подтверждает корректность найденного соотношения.

Ответ: Сплавы от первого и второго кусков нужно брать в соотношении $(q - r) : (r - p)$.

1. Дать определение многочлена $n$-й степени от одного переменного.

Многочленом (или полиномом) $n$-й степени от одного переменного $x$ называется выражение вида:
$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — заданные числа, называемые коэффициентами многочлена, а $x$ — переменная.

Слагаемые вида $a_k x^k$ называются членами многочлена (или одночленами, мономами).

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов с ненулевыми коэффициентами. Для того чтобы многочлен $P_n(x)$ считался многочленом именно $n$-й степени, необходимо выполнение условия: старший коэффициент $a_n$ не должен быть равен нулю ($a_n \neq 0$).

Основные термины:

• $n$ — степень многочлена (неотрицательное целое число).
• $a_n x^n$ — старший член многочлена.
• $a_n$ — старший коэффициент (коэффициент при старшем члене).
• $a_0$ — свободный член (или постоянный член), то есть член нулевой степени.

Пример:

Рассмотрим многочлен $P(x) = 5x^3 - x + 8$.

• Это многочлен от одной переменной $x$.
• Его степень равна $3$, так как это наибольшая степень $x$ с ненулевым коэффициентом.
• Коэффициенты: $a_3=5, a_2=0, a_1=-1, a_0=8$.
• Старший член: $5x^3$.
• Старший коэффициент: $5$.
• Свободный член: $8$.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым многочленом. Его степень не определена (или, по соглашению, принимается равной $-\infty$).

Ответ: Многочлен $n$-й степени от одного переменного $x$ — это функция вида $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, представляющая собой конечную сумму одночленов $a_k x^k$, где $a_k$ — числовые коэффициенты, $x$ — переменная, $n$ — неотрицательное целое число, называемое степенью многочлена, при обязательном условии, что старший коэффициент $a_n \neq 0$.

2. Какой многочлен называют нулевым многочленом?

2. Нулевым многочленом (или нуль-многочленом) называют многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. Это означает, что такой многочлен тождественно равен нулю при любых значениях входящих в него переменных.

Если рассмотреть общий вид многочлена от одной переменной $x$:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

то для нулевого многочлена все его коэффициенты $a_i$ равны нулю: $a_n = a_{n-1} = \dots = a_1 = a_0 = 0$. Поэтому нулевой многочлен записывается просто как $P(x) = 0$.

Ключевые свойства нулевого многочлена:

1. Он является нейтральным элементом по сложению (аддитивным нулём) в кольце многочленов. Это означает, что для любого многочлена $Q(x)$ выполняется равенство: $Q(x) + 0 = Q(x)$.

2. Степень нулевого многочлена — это особый случай. В отличие от любого ненулевого многочлена, степень которого является неотрицательным целым числом, степень нулевого многочлена либо считают неопределённой, либо по соглашению принимают равной $-\infty$ (минус бесконечность) или $-1$. Такое соглашение позволяет сохранить справедливость общих теорем о степенях, например, теоремы о степени произведения многочленов: $\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q)$. Если бы степень нулевого многочлена была равна $0$, это правило бы нарушилось.

Ответ: Нулевой многочлен — это многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. Он тождественно равен нулю для любых значений переменных и обозначается как $P(x)=0$.

3. Какие многочлены называют тождественно равными?

Какие многочлены называют тождественно равными?

Два многочлена называются тождественно равными, если их значения равны при любых значениях входящих в них переменных.

Это означает, что если у нас есть два многочлена, например $P_1(x, y)$ и $P_2(x, y)$, то они тождественно равны, если для любой пары числовых значений переменных $x$ и $y$ результат вычисления $P_1$ будет таким же, как и результат вычисления $P_2$. Такое равенство называется тождеством, и для его обозначения часто используют знак тождественного равенства $ \equiv $.

На практике, чтобы проверить, являются ли два многочлена тождественно равными, их сравнивают в стандартном виде. Многочлен приведён к стандартному виду, если все его члены (одночлены) также записаны в стандартном виде (числовой коэффициент стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке с их степенями) и среди них нет подобных слагаемых.

Ключевое правило: Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда их стандартные виды полностью совпадают. Это значит, что после выполнения всех преобразований (раскрытия скобок, приведения подобных членов) они должны состоять из абсолютно одинакового набора одночленов.

Пример 1:

Проверим, являются ли тождественно равными многочлены $A = (x-2)(x+2) + 4$ и $B = x^2$.

Приведем многочлен $A$ к стандартному виду, используя формулу разности квадратов:

$A = (x^2 - 2^2) + 4 = (x^2 - 4) + 4 = x^2$.

Многочлен $B = x^2$ уже находится в стандартном виде.

Так как стандартные виды многочленов $A$ и $B$ совпали ($x^2$ и $x^2$), эти многочлены тождественно равны. То есть, $(x-2)(x+2) + 4 \equiv x^2$.

Пример 2:

Рассмотрим многочлены $C = (2a+b)(a-b)$ и $D = 2a^2 - b^2$.

Приведем многочлен $C$ к стандартному виду, раскрыв скобки:

$C = 2a \cdot a + 2a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) = 2a^2 - 2ab + ab - b^2$.

Теперь приведем подобные члены:

$C = 2a^2 + (-2ab + ab) - b^2 = 2a^2 - ab - b^2$.

Многочлен $D = 2a^2 - b^2$ уже в стандартном виде.

Сравним их стандартные виды: $2a^2 - ab - b^2$ и $2a^2 - b^2$. Они отличаются наличием члена $-ab$ в многочлене $C$. Следовательно, многочлены $C$ и $D$ не являются тождественно равными.

Ответ: Тождественно равными называют многочлены, которые принимают равные значения при любых значениях входящих в них переменных. Практический способ проверки: два многочлена тождественно равны, если после приведения их к стандартному виду (упрощения выражений и приведения подобных слагаемых) они полностью совпадают, то есть состоят из одинаковых членов с одинаковыми коэффициентами.

4. Какова формула деления многочленов?

Деление многочленов с остатком — это операция, аналогичная делению с остатком для целых чисел. Для любых двух многочленов $P(x)$ (делимое) и $D(x)$ (делитель), где $D(x)$ не является нулевым многочленом, можно найти единственную пару многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) таких, что выполняется следующее равенство:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Ключевым условием является то, что степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$. Математически это записывается как $\deg(R(x)) < \deg(D(x))$.

Если остаток $R(x)$ равен нулю, то говорят, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $D(x)$ нацело.

Для нахождения частного $Q(x)$ и остатка $R(x)$ на практике чаще всего используется алгоритм деления многочленов "в столбик" (или "уголком").

Пример деления многочленов в столбик:

Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ на многочлен $D(x) = x - 2$.

1. Располагаем многочлены как при обычном делении в столбик.
2. Делим старший член делимого ($2x^3$) на старший член делителя ($x$). Получаем первый член частного: $\frac{2x^3}{x} = 2x^2$.
3. Умножаем делитель ($x-2$) на полученный член частного ($2x^2$): $2x^2 \cdot (x-2) = 2x^3 - 4x^2$.
4. Вычитаем полученный результат из делимого.
5. Сносим следующий член делимого ($+4x$) и повторяем процесс с новым многочленом, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Визуализация процесса:

 2x³ - 3x² + 4x - 1 | x - 2- 2x³ - 4x² |---------- ----------------- 2x² + x + 6 x² + 4x - x² - 2x ------- 6x - 1 - 6x - 12 ------- 11

В результате деления мы получили:

• Частное: $Q(x) = 2x^2 + x + 6$
• Остаток: $R(x) = 11$

Степень остатка $\deg(11) = 0$, что меньше степени делителя $\deg(x-2) = 1$.

Проверка по формуле: $(x-2) \cdot (2x^2+x+6) + 11 = (2x^3+x^2+6x - 4x^2-2x-12) + 11 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 12 + 11 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$. Результат совпадает с исходным делимым $P(x)$.

Ответ: Формула деления многочленов имеет вид $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $P(x)$ — делимое, $D(x)$ — делитель, $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток, причем степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $D(x)$.

Б. Какова формула деления многочленов с остатком?

Б.

Деление многочленов с остатком является аналогом операции деления с остатком для целых чисел. Теорема о делении с остатком для многочленов утверждает, что для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x)$ не является нулевым многочленом, существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), для которых справедливо следующее равенство.

Формула деления многочленов с остатком: $$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$$

В этой формуле:
$A(x)$ — делимый многочлен (делимое).
$B(x)$ — многочлен-делитель, причём $B(x) \neq 0$.
$Q(x)$ — частное от деления.
$R(x)$ — остаток от деления.

Основное условие, накладываемое на остаток $R(x)$, заключается в том, что его степень должна быть строго меньше степени делителя $B(x)$, либо остаток должен быть нулевым многочленом (т.е. $R(x) = 0$). Это условие записывается в виде: $$ \text{deg}(R(x)) < \text{deg}(B(x)) \quad \text{или} \quad R(x) = 0 $$ где $\text{deg}(P(x))$ обозначает степень многочлена $P(x)$. Это условие гарантирует единственность частного и остатка.

Ответ: Формула деления многочленов с остатком имеет вид $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $A(x)$ — делимое, $B(x)$ — делитель, $Q(x)$ — частное, $R(x)$ — остаток, причём степень многочлена $R(x)$ строго меньше степени многочлена $B(x)$ или $R(x) = 0$.

6. Как можно разделить один многочлен на другой?

Разделить один многочлен $P(x)$ на другой многочлен $D(x)$ — значит найти такие многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), что выполняется равенство $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, причем степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$.

Существует два основных метода для деления многочленов. Основным является деление столбиком (или уголком), которое аналогично делению чисел. Также существует более быстрый метод для частного случая — схема Горнера, которая применяется для деления на двучлен вида $(x - c)$.

Деление многочленов столбиком

Этот метод является универсальным и подходит для деления любого многочлена на любой другой (ненулевой) многочлен, степень которого не превышает степень делимого.

Алгоритм деления столбиком:

1. Записать делимое и делитель в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной. Если какая-то степень отсутствует, на ее место ставят член с коэффициентом 0 (это помогает не сбиться со счетом).
2. Разделить старший член делимого на старший член делителя. Полученный результат будет первым членом частного.
3. Умножить этот член частного на весь делитель.
4. Вычесть полученное произведение из делимого. Результат вычитания (первый остаток) записать под чертой.
5. Повторять шаги 2-4 с полученным остатком в качестве нового делимого до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x - 3$ на $D(x) = x^2 - x + 1$.

В результате деления мы получили:
Частное: $Q(x) = 3x^2 - 2x - 3$
Остаток: $R(x) = 3x$

Запись результата: $3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x - 3 = (x^2 - x + 1)(3x^2 - 2x - 3) + 3x$.

Схема Горнера

Этот метод является очень быстрым и удобным способом деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен вида $(x-c)$.

Алгоритм схемы Горнера:

1. Начертить таблицу. В верхней строке выписать коэффициенты многочлена-делимого $P(x)$ в порядке убывания степеней.
2. Слева от таблицы написать число $c$ из делителя $(x-c)$.
3. Старший коэффициент делимого "снести" в нижнюю строку без изменений. Это будет старший коэффициент частного.
4. Умножить этот коэффициент на $c$ и записать результат в среднюю строку под следующим коэффициентом делимого.
5. Сложить числа во втором столбце (коэффициент делимого и результат умножения). Результат записать в нижнюю строку — это следующий коэффициент частного.
6. Повторять шаги 4-5 до последнего коэффициента. Последнее полученное число в нижней строке будет остатком от деления.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $D(x) = x - 2$. Здесь $c=2$.

Коэффициенты многочлена $P(x)$: 2, -3, 4, -5.

Нижняя строка (кроме последнего числа) дает коэффициенты частного. Степень частного всегда на единицу меньше степени делимого.
Коэффициенты частного: 2, 1, 6. Значит, частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$.
Последнее число в нижней строке (выделено красным) — это остаток: $R(x) = 7$.

Таким образом, $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$.

Ответ: Основным способом деления одного многочлена на другой является деление столбиком (уголком), которое применимо в общем случае. Для частного случая, когда делитель является линейным двучленом вида $(x-c)$, можно использовать более быстрый и удобный метод — схему Горнера.