Номер 4, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Какова формула деления многочленов?

Деление многочленов с остатком — это операция, аналогичная делению с остатком для целых чисел. Для любых двух многочленов $P(x)$ (делимое) и $D(x)$ (делитель), где $D(x)$ не является нулевым многочленом, можно найти единственную пару многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) таких, что выполняется следующее равенство:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Ключевым условием является то, что степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$. Математически это записывается как $\deg(R(x)) < \deg(D(x))$.

Если остаток $R(x)$ равен нулю, то говорят, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $D(x)$ нацело.

Для нахождения частного $Q(x)$ и остатка $R(x)$ на практике чаще всего используется алгоритм деления многочленов "в столбик" (или "уголком").

Пример деления многочленов в столбик:

Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ на многочлен $D(x) = x - 2$.

1. Располагаем многочлены как при обычном делении в столбик.
2. Делим старший член делимого ($2x^3$) на старший член делителя ($x$). Получаем первый член частного: $\frac{2x^3}{x} = 2x^2$.
3. Умножаем делитель ($x-2$) на полученный член частного ($2x^2$): $2x^2 \cdot (x-2) = 2x^3 - 4x^2$.
4. Вычитаем полученный результат из делимого.
5. Сносим следующий член делимого ($+4x$) и повторяем процесс с новым многочленом, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Визуализация процесса:

 2x³ - 3x² + 4x - 1 | x - 2- 2x³ - 4x² |---------- ----------------- 2x² + x + 6 x² + 4x - x² - 2x ------- 6x - 1 - 6x - 12 ------- 11

В результате деления мы получили:

• Частное: $Q(x) = 2x^2 + x + 6$
• Остаток: $R(x) = 11$

Степень остатка $\deg(11) = 0$, что меньше степени делителя $\deg(x-2) = 1$.

Проверка по формуле: $(x-2) \cdot (2x^2+x+6) + 11 = (2x^3+x^2+6x - 4x^2-2x-12) + 11 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 12 + 11 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$. Результат совпадает с исходным делимым $P(x)$.

Ответ: Формула деления многочленов имеет вид $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $P(x)$ — делимое, $D(x)$ — делитель, $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток, причем степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $D(x)$.