Номер 11, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Как понизить степень алгебраического уравнения, зная один из его корней?

Для понижения степени алгебраического уравнения, зная один из его корней, используется теорема Безу и ее следствие.

Теоретическое обоснование

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P_n(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $P_n(a)$.

Следствие из этой теоремы: если число $a$ является корнем многочлена $P_n(x)$ (а значит, и корнем уравнения $P_n(x) = 0$), то $P_n(a) = 0$. Это означает, что многочлен $P_n(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка. В результате такого деления мы получаем новый многочлен $Q_{n-1}(x)$, степень которого на единицу меньше исходного:

$P_n(x) = (x - a) \cdot Q_{n-1}(x)$

Таким образом, исходное уравнение $P_n(x) = 0$ становится эквивалентно уравнению:

$(x - a) \cdot Q_{n-1}(x) = 0$

Решениями этого уравнения будут известный корень $x=a$ и корни уравнения $Q_{n-1}(x) = 0$, которое имеет степень на единицу меньше исходного. Таким образом, задача сводится к нахождению корней уравнения пониженной степени.

Методы понижения степени

Существует два основных способа разделить многочлен $P_n(x)$ на двучлен $(x - a)$:

1. Деление многочлена на многочлен "столбиком" (или "уголком"). Этот метод аналогичен делению чисел столбиком.
2. Схема Горнера. Это более быстрый и алгоритмически простой метод для деления многочлена на двучлен вида $(x-a)$.

Пример

Рассмотрим кубическое уравнение: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$.

Предположим, мы подобрали или нам дан один из корней этого уравнения, например, $x_1 = 2$. Проверим, действительно ли это корень:

$2^3 + 2(2^2) - 5(2) - 6 = 8 + 2(4) - 10 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 16 - 16 = 0$.

Поскольку $x=2$ является корнем, мы можем понизить степень уравнения, разделив многочлен $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на двучлен $(x - 2)$.

Решение методом деления "столбиком":

 x² + 4x + 3x-2 | x³ + 2x² - 5x - 6 -(x³ - 2x²) ----------- 4x² - 5x -(4x² - 8x) ----------- 3x - 6 -(3x - 6) --------- 0

В результате деления мы получили многочлен $x^2 + 4x + 3$. Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$(x - 2)(x^2 + 4x + 3) = 0$

Остальные корни находятся из квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. Решая его (например, по теореме Виета или через дискриминант), находим корни $x_2 = -1$ и $x_3 = -3$.

Решение по схеме Горнера:

Выпишем коэффициенты исходного многочлена $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ в ряд: $1, 2, -5, -6$. В качестве корня используем $a = 2$.

Первый коэффициент нового многочлена ($b_2$) всегда равен первому коэффициенту исходного ($a_3=1$). Каждый следующий коэффициент ($b_k$) получается умножением известного корня ($a=2$) на предыдущий найденный коэффициент ($b_{k+1}$) и сложением с соответствующим коэффициентом исходного многочлена ($a_{k+1}$). Последнее число в таблице — это остаток от деления ($R$), который равен нулю, что подтверждает правильность вычислений.

Коэффициенты нового многочлена: $1, 4, 3$. Это соответствует многочлену $x^2 + 4x + 3$. Дальнейшее решение аналогично предыдущему методу.

Ответ: Чтобы понизить степень алгебраического уравнения $P_n(x) = 0$, зная один из его корней $x=a$, необходимо разделить многочлен $P_n(x)$ на двучлен $(x-a)$. Это можно сделать с помощью деления "столбиком" или по схеме Горнера. В результате деления получится многочлен $Q_{n-1}(x)$ со степенью на единицу меньше. Исходное уравнение примет вид $(x-a) \cdot Q_{n-1}(x) = 0$, и для нахождения остальных корней нужно будет решить новое, более простое уравнение $Q_{n-1}(x) = 0$.